Interés Compuesto Continuo

El interés compuesto es el interés calculado sobre el capital inicial y también sobre el interés acumulado de períodos anteriores de un depósito o préstamo. El efecto del interés compuesto depende de la frecuencia.

Suponga una tasa de interés anual del 12%. Si comenzamos el año con $ 100 y compuesto solo una vez, al final del año, el capital aumenta a $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112). Si, en cambio, aumentamos cada mes al 1%, terminamos con más de $ 112 al final del año. Es decir, $ 100 x 1.01 ^ 12 a $ 112.68. (Es más alto porque aumentamos más frecuentemente).

Los rendimientos continuamente compuestos son los más frecuentes de todos. La capitalización continua es el límite matemático que puede alcanzar el interés compuesto. Es un caso extremo de capitalización, ya que la mayoría de los intereses se capitalizan mensualmente, trimestralmente o semestralmente.

Tasas de retorno semestrales

Primero, echemos un vistazo a una convención potencialmente confusa. En el mercado de bonos, nos referimos a un rendimiento equivalente a bonos (o base equivalente a bonos). Esto significa que si un bono rinde un 6% semestralmente, su rendimiento equivalente es del 12%.

Figura 1

El rendimiento semestral simplemente se duplica. Esto es potencialmente confuso porque el rendimiento efectivo de un bono de rendimiento equivalente al 12% es 12.36% (es decir, 1.06 ^ 2 = 1.1236). Duplicar el rendimiento semestral es solo una convención de nomenclatura de bonos. Por lo tanto, si leemos acerca de un bono del 8% compuesto semestralmente, asumimos que esto se refiere al rendimiento semestral del 4%.

Tasas de retorno trimestrales, mensuales y diarias

Ahora, analicemos las frecuencias más altas. Todavía estamos asumiendo una tasa de interés anual de mercado del 12%. Según las convenciones de denominación de bonos, eso implica una tasa compuesta semestral del 6%. Ahora podemos expresar la tasa compuesta trimestral en función de la tasa de interés del mercado.

Figura 2

Dada una tasa anual de mercado ( r), la tasa compuesta trimestral ( r _q ) viene dada por:

Entonces, para nuestro ejemplo, donde la tasa de mercado anual es del 12%, la tasa compuesta trimestral es del 11.825%:

figura 3

Una lógica similar se aplica a la capitalización mensual. La tasa compuesta mensual ( r _m ) se proporciona aquí en función de la tasa de interés anual de mercado ( r):

La tasa compuesta diaria ( d) en función de la tasa de interés de mercado ( r) viene dada por:

Cómo funciona la capitalización continua

Figura 4

Si aumentamos la frecuencia compuesta a su límite, estamos componiendo continuamente. Si bien esto puede no ser práctico, la tasa de interés continuamente compuesta ofrece propiedades maravillosamente convenientes. Resulta que la tasa de interés compuesta continua está dada por:

Ln () es el registro natural y, en nuestro ejemplo, la tasa compuesta continua es, por lo tanto:

Llegamos al mismo lugar tomando el logaritmo natural de esta relación: el valor final dividido por el valor inicial.

Esto último es común cuando se calcula el rendimiento compuesto continuo de una acción. Por ejemplo, si la acción salta de $ 10 un día a $ 11 al día siguiente, el rendimiento diario compuesto continuo está dado por:

¿Qué tiene de bueno la tasa (o rendimiento) compuesta continuamente que denotaremos con r _c ">

Tenga en cuenta que e es la función exponencial. Por ejemplo, si comenzamos con $ 100 y seguimos componiendo al 8% durante tres años, la riqueza final viene dada por:

El descuento para el valor presente (PV) es simplemente compuesto a la inversa, por lo que el valor presente de un valor futuro (F) compuesto continuamente a una tasa de ( r _c ) viene dado por:

Por ejemplo, si va a recibir $ 100 en tres años con una tasa continua del 6%, su valor actual viene dado por:

Escalando en múltiples períodos

La propiedad conveniente de los rendimientos continuamente compuestos es que se escala en varios períodos. Si el retorno para el primer período es del 4% y el retorno para el segundo período es del 3%, entonces el retorno de dos períodos es del 7%. Considere que comenzamos el año con $ 100, que crece a $ 120 al final del primer año, luego a $ 150 al final del segundo año. Los rendimientos continuamente compuestos son, respectivamente, 18.23% y 22.31%.

Si simplemente sumamos estos, obtenemos el 40.55%. Este es el retorno de dos períodos:

Técnicamente hablando, el retorno continuo es consistente en el tiempo. La consistencia temporal es un requisito técnico para el valor en riesgo (VAR). Esto significa que si un retorno de período único es una variable aleatoria normalmente distribuida, queremos que las variables aleatorias de período múltiple también se distribuyan normalmente. Además, el rendimiento compuesto continuo de períodos múltiples normalmente se distribuye (a diferencia, por ejemplo, de un rendimiento porcentual simple).

La línea de fondo

Podemos reformular las tasas de interés anuales en tasas de interés semestrales, trimestrales, mensuales o diarias (o tasas de rendimiento). La capitalización más frecuente es la capitalización continua, que requiere que usemos un registro natural y una función exponencial, que se usa comúnmente en las finanzas debido a sus propiedades deseables: se escala fácilmente en múltiples períodos y es consistente en el tiempo.