Duración de Macaulay versus duración modificada

La duración de Macaulay y la duración modificada se utilizan principalmente para calcular la duración de los enlaces. La duración de Macaulay calcula el tiempo promedio ponderado antes de que un tenedor de bonos reciba los flujos de efectivo del bono. Por el contrario, la duración modificada mide la sensibilidad al precio de un bono cuando hay un cambio en el rendimiento al vencimiento.

La duración de Macaulay

La duración de Macaulay se calcula multiplicando el período de tiempo por el pago periódico del cupón y dividiendo el valor resultante entre 1 más el rendimiento periódico elevado hasta el vencimiento. A continuación, el valor se calcula para cada período y se suma. Luego, el valor resultante se agrega al número total de períodos multiplicado por el valor nominal, dividido por 1, más el rendimiento periódico elevado al número total de períodos. Luego, el valor se divide por el precio actual del bono.

Duración de Macaulay = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Precio actual del bono donde: C = pago periódico del cupón = rendimiento periódico M = valor de vencimiento del bono n = duración del bono en puntos \ comenzar {alineado} y \ texto {Duración de Macaulay} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Precio actual del bono}} \\ & \ textbf {donde:} \\ & C = \ text {pago periódico de cupones} \\ & y = \ text {rendimiento periódico} \\ & M = \ text {el valor de vencimiento del bono} \\ & n = \ text {duración del bono en períodos} \\ \ end {alineado} Macaulay Duración = Precio actual del bono (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) donde: C = pago periódico del cupón = rendimiento periódico M = valor de vencimiento del bono n = duración de fianza en períodos

El precio de un bono se calcula multiplicando el flujo de efectivo por 1, menos 1, dividido entre 1, más el rendimiento hasta el vencimiento, elevado al número de períodos dividido por el rendimiento requerido. El valor resultante se agrega al valor nominal, o al valor de vencimiento, del bono dividido entre 1, más el rendimiento al vencimiento elevado al número total de períodos.

Por ejemplo, suponga que la duración de Macaulay de un bono de cinco años con un valor de vencimiento de $ 5, 000 y una tasa de cupón de 6% es 4.87 años ((1 * 60) / (1 + 0.06) + (2 * 60) / (1 + 0.06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0.06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0.06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0.06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0.06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0.06) ^ -5) / (0.06)) + (5000 / (1 + 0.06) ^ 5)).

La duración modificada de este bono, con un rendimiento al vencimiento del 6% para un período de cupón, es de 4.59 años (4.87 / (1 + 0.06 / 1). Por lo tanto, si el rendimiento al vencimiento aumenta del 6% al 7%, el la duración del bono disminuirá en 0.28 años (4.87 - 4.59).

La fórmula para calcular el cambio porcentual en el precio del bono es el cambio en el rendimiento multiplicado por el valor negativo de la duración modificada multiplicado por el 100%. Este cambio porcentual resultante en el bono, para un aumento del rendimiento del 1%, se calcula en -4.59% (0.01 * - 4.59 * 100%).

La duración modificada

Duración modificada = Duración de Macauley (1 + YTMn) donde: YTM = rendimiento hasta la madurez \ comenzar {alineado} y \ text {Duración modificada} = \ frac {\ text {Duración de Macauley}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {donde:} \\ & YTM = \ text {rendimiento hasta el vencimiento} \\ & n = \ text {número de períodos de cupones por año} \ end {alineado} Modificado Duración = (1 + nYTM) Macauley Duración donde: YTM = rendimiento hasta la madurez

La duración modificada es una versión ajustada de la duración de Macaulay, que explica el cambio del rendimiento a los vencimientos. La fórmula para la duración modificada es el valor de la duración de Macaulay dividido por 1, más el rendimiento al vencimiento, dividido por el número de períodos de cupones por año. La duración modificada determina los cambios en la duración y el precio de un bono para cada cambio porcentual en el rendimiento al vencimiento.

Por ejemplo, suponga que un bono a seis años tiene un valor nominal de $ 1, 000 y una tasa de cupón anual del 8%. La duración de Macaulay se calcula en 4.99 años ((1 * 80) / (1 + 0.08) + (2 * 80) / (1 + 0.08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0.08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0.08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0.08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0.08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0.08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0.08) ^ -6) / 0.08 + 1000 / (1 + 0.08) ^ 6).

La duración modificada de este bono, con un rendimiento al vencimiento del 8% para un período de cupón, es de 4.62 años (4.99 / (1 + 0.08 / 1). Por lo tanto, si el rendimiento al vencimiento aumenta del 8% al 9%, el La duración del bono disminuirá en 0, 37 años (4, 99 - 4, 62).

La fórmula para calcular el cambio porcentual en el precio del bono es el cambio en el rendimiento multiplicado por el valor negativo de la duración modificada multiplicado por el 100%. Este cambio porcentual resultante en el bono, para un aumento de la tasa de interés del 8% al 9%, se calcula en -4.62% (0.01 * - 4.62 * 100%).

Por lo tanto, si las tasas de interés aumentan 1% durante la noche, se espera que el precio del bono caiga 4.62%.

La duración modificada y los swaps de tasas de interés

La duración modificada podría extenderse para calcular la cantidad de años que tomaría un swap de tasa de interés para pagar el precio pagado por el swap. Un canje de tasas de interés es el intercambio de un conjunto de flujos de efectivo por otro y se basa en especificaciones de tasas de interés entre las partes.

La duración modificada se calcula dividiendo el valor en dólares de un cambio de un punto básico de una pierna swap de tasa de interés, o una serie de flujos de efectivo, por el valor presente de la serie de flujos de efectivo. El valor luego se multiplica por 10, 000. La duración modificada para cada serie de flujos de efectivo también se puede calcular dividiendo el valor en dólares de un cambio de punto base de la serie de flujos de efectivo por el valor nocional más el valor de mercado. La fracción se multiplica por 10, 000.

La duración modificada de ambos tramos debe calcularse para calcular la duración modificada del canje de tasas de interés. La diferencia entre las dos duraciones modificadas es la duración modificada del swap de tasa de interés. La fórmula para la duración modificada del swap de tasa de interés es la duración modificada del tramo receptor menos la duración modificada del tramo pagador.

Por ejemplo, suponga que el banco A y el banco B entran en un swap de tasa de interés. La duración modificada del tramo receptor de un intercambio se calcula como nueve años y la duración modificada del tramo pagador se calcula como cinco años. La duración modificada resultante del swap de tasa de interés es de cuatro años (9 años - 5 años).

Comparación de la duración de Macaulay y la duración modificada

Dado que la duración de Macaulay mide el tiempo promedio ponderado que un inversionista debe mantener un bono hasta que el valor presente de los flujos de efectivo del bono sea igual al monto pagado por el bono, a menudo lo usan los administradores de bonos que buscan administrar el riesgo de la cartera de bonos con estrategias de inmunización .

Por el contrario, la duración modificada identifica cuánto cambia la duración de cada cambio porcentual en el rendimiento mientras mide cuánto un cambio en las tasas de interés impacta el precio de un bono. Por lo tanto, la duración modificada puede proporcionar una medida de riesgo para los inversores en bonos al aproximar cuánto podría disminuir el precio de un bono con un aumento en las tasas de interés. Es importante tener en cuenta que los precios de los bonos y las tasas de interés tienen una relación inversa entre sí.