Desglosando el modelo binomial para valorar una opción

En el mundo financiero, los modelos Black-Scholes y de valoración de opciones binomiales son dos de los conceptos más importantes en la teoría financiera moderna. Ambos se utilizan para valorar una opción, y cada uno tiene sus propias ventajas y desventajas.

Algunas de las ventajas básicas de usar el modelo binomial son:

• una vista de períodos múltiples
• transparencia
• capacidad de incorporar probabilidades

En este artículo, exploraremos las ventajas de usar el modelo binomial en lugar del modelo Black-Scholes y brindaremos algunos pasos básicos para desarrollar el modelo y explicar cómo se usa.

Vista de períodos múltiples

El modelo binomial proporciona una vista de varios períodos del precio del activo subyacente, así como el precio de la opción. A diferencia del modelo Black-Scholes, que proporciona un resultado numérico basado en entradas, el modelo binomial permite el cálculo del activo y la opción para períodos múltiples junto con el rango de resultados posibles para cada período (ver más abajo).

La ventaja de esta vista de períodos múltiples es que el usuario puede visualizar el cambio en el precio de los activos de un período a otro y evaluar la opción en función de las decisiones tomadas en diferentes momentos. Para una opción con sede en los EE. UU., Que puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, el modelo binomial puede proporcionar información sobre cuándo puede ser aconsejable ejercer la opción y cuándo debe mantenerse durante períodos más largos. Al observar el árbol de valores binomial, un comerciante puede determinar de antemano cuándo puede ocurrir una decisión sobre un ejercicio. Si la opción tiene un valor positivo, existe la posibilidad de hacer ejercicio, mientras que si la opción tiene un valor inferior a cero, debe mantenerse durante períodos más largos.

Transparencia

Estrechamente relacionado con la revisión de varios períodos está la capacidad del modelo binomial de proporcionar transparencia en el valor subyacente del activo y la opción a medida que pasa el tiempo. El modelo Black-Scholes tiene cinco entradas:

1. La tasa libre de riesgo
2. El precio del ejercicio
3. El precio actual del activo.
4. Tiempo de madurez
5. La volatilidad implícita del precio del activo.

Cuando estos puntos de datos se ingresan en un modelo de Black-Scholes, el modelo calcula un valor para la opción, pero los impactos de estos factores no se revelan período a período. Con el modelo binomial, un operador puede ver el cambio en el precio del activo subyacente de un período a otro y el cambio correspondiente en el precio de la opción.

Incorporando Probabilidades

El método básico para calcular el modelo de opción binomial es utilizar la misma probabilidad en cada período de éxito y fracaso hasta que la opción caduque. Sin embargo, un operador puede incorporar diferentes probabilidades para cada período en función de la nueva información obtenida a medida que pasa el tiempo.

Por ejemplo, puede haber una probabilidad de 50/50 de que el precio del activo subyacente pueda aumentar o disminuir en un 30 por ciento en un período. Sin embargo, para el segundo período, la probabilidad de que aumente el precio del activo subyacente puede aumentar a 70/30. Por ejemplo, si un inversionista está evaluando un pozo petrolero, ese inversionista no está seguro de cuál es el valor de ese pozo petrolero, pero hay una probabilidad de 50/50 de que el precio suba. Si los precios del petróleo suben en el Período 1, lo que hace que el pozo de petróleo sea más valioso y los fundamentos del mercado ahora apuntan a continuos aumentos en los precios del petróleo, la probabilidad de una mayor apreciación del precio ahora puede ser del 70 por ciento. El modelo binomial permite esta flexibilidad; el modelo Black-Scholes no.

Desarrollando el modelo

El modelo binomial más simple tendrá dos rendimientos esperados cuyas probabilidades suman 100 por ciento. En nuestro ejemplo, hay dos resultados posibles para el pozo de petróleo en cada momento. Una versión más compleja podría tener tres o más resultados diferentes, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de ocurrencia.

Para calcular los rendimientos por período a partir del tiempo cero (ahora), debemos determinar el valor del activo subyacente dentro de un período a partir de ahora. En este ejemplo, asumimos lo siguiente:

• Precio del activo subyacente (P): $ 500
• Precio de ejercicio de opción de compra (K): $ 600
• Tasa libre de riesgo para el período: 1 por ciento
• Cambio de precio en cada período: 30 por ciento hacia arriba o hacia abajo

El precio del activo subyacente es de $ 500 y, en el Período 1, puede valer $ 650 o $ 350. Eso sería el equivalente a un aumento o disminución del 30 por ciento en un período. Dado que el precio de ejercicio de las opciones de compra que tenemos es de $ 600, si el activo subyacente termina siendo inferior a $ 600, el valor de la opción de compra sería cero. Por otro lado, si el activo subyacente excede el precio de ejercicio de $ 600, el valor de la opción de compra sería la diferencia entre el precio del activo subyacente y el precio de ejercicio. La fórmula para este cálculo es [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] donde: P = Precio del activo subyacente K = Precio de ejercicio de la opción de compra \ begin {alineado} y \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {donde:} \\ & P = \ text {Precio del activo subyacente} \\ & K = \ text {Precio de ejercicio de la opción de compra} \\ \ end {alineado} max [(P − K), 0] donde: P = Precio del activo subyacente K = Precio de ejercicio de la opción de compra

Suponga que hay una probabilidad del 50 por ciento de subir y una probabilidad del 50 por ciento de bajar. Usando los valores del Período 1 como ejemplo, esto se calcula como

max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25 \ begin {alineado} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0.5+ \ max {\ left [\ left (\ $ 350 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0.5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {alineado} max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25

Para obtener el valor actual de la opción de compra, debemos descontar los $ 25 en el Período 1 nuevamente al Período 0, que es

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75 \ $ 25 / \ left (1 + 1 \% \ right) = \ $ 24.75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24.75

Ahora puede ver que si se modifican las probabilidades, el valor esperado del activo subyacente también cambiará. Si la probabilidad se debe cambiar, también se puede cambiar para cada período posterior y no necesariamente tiene que permanecer igual en todo momento.

El modelo binomial se puede extender fácilmente a múltiples períodos. Aunque el modelo Black-Scholes puede calcular el resultado de una fecha de vencimiento extendida, el modelo binomial extiende los puntos de decisión a varios períodos.

Usos para el modelo binomial

Además de su uso como método para calcular el valor de una opción, el modelo binomial también puede usarse para proyectos o inversiones con un alto grado de incertidumbre, decisiones de presupuesto de capital y asignación de recursos, y proyectos con períodos múltiples o opción integrada para continuar o abandonar el proyecto en ciertos momentos.

Un ejemplo simple es un proyecto que implica la perforación de petróleo. La incertidumbre de este tipo de proyecto es si la tierra que se está perforando tiene petróleo, la cantidad de petróleo que se puede perforar, si se encuentra petróleo, y el precio al que se puede vender el petróleo una vez extraído.

El modelo de opción binomial puede ayudar a tomar decisiones en cada punto del proyecto de perforación petrolera. Por ejemplo, supongamos que decidimos perforar, pero el pozo de petróleo solo será rentable si encontramos suficiente petróleo y el precio del petróleo excede cierta cantidad. Tomará un período completo determinar cuánto petróleo podemos extraer, así como el precio del petróleo en ese momento. Después del primer período (un año, por ejemplo), podemos decidir en base a estos dos puntos de datos si continuar perforando o abandonando el proyecto. Estas decisiones se pueden tomar de manera continua hasta que se llegue a un punto en el que la perforación no tenga valor, en cuyo momento el pozo será abandonado.

La línea de fondo

El modelo binomial ofrece una vista más detallada al permitir vistas de varios períodos del precio del activo subyacente y el precio de la opción para varios períodos, así como el rango de resultados posibles para cada período. Si bien tanto el modelo Black-Scholes como el modelo binomial se pueden usar para valorar las opciones, el modelo binomial tiene una gama más amplia de aplicaciones, es más intuitivo y es más fácil de usar.