Explorando la media móvil ponderada exponencialmente
La volatilidad es la medida de riesgo más común, pero viene en varios sabores. En un artículo anterior, mostramos cómo calcular la volatilidad histórica simple. En este artículo, mejoraremos la volatilidad simple y discutiremos el promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA).
Volatilidad histórica versus implícita
Primero, pongamos esta métrica en un poco de perspectiva. Hay dos enfoques generales: volatilidad histórica e implícita (o implícita). El enfoque histórico supone que el pasado es prólogo; Medimos la historia con la esperanza de que sea predictiva. La volatilidad implícita, por otro lado, ignora la historia; resuelve la volatilidad que implican los precios del mercado. Espera que el mercado sepa mejor y que el precio del mercado contenga, aunque sea implícitamente, una estimación consensuada de volatilidad.
Si nos centramos solo en los tres enfoques históricos (a la izquierda arriba), tienen dos pasos en común:
- Calcular la serie de rendimientos periódicos
- Aplicar un esquema de ponderación
Primero, calculamos el rendimiento periódico. Esto es típicamente una serie de retornos diarios donde cada retorno se expresa en términos continuamente compuestos. Para cada día, tomamos el registro natural de la relación de los precios de las acciones (es decir, el precio de hoy dividido por el precio de ayer, y así sucesivamente).
ui = lnsisi − 1 donde: ui = retorno en el día isi = precio de la acción en el día isi − 1 = precio de la acción el día anterior al día i \ begin {alineado} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {return on day} i \\ & s_i = \ text {precio de las acciones en el día} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {precio de las acciones el día antes del día} i \\ \ end {alineado} ui = lnsi − 1 si donde: ui = retorno del día isi = precio de la acción el día isi − 1 = precio de la acción el día anterior al día i
Esto produce una serie de retornos diarios, de u i a u im, dependiendo de cuántos días (m = días) estamos midiendo.
Eso nos lleva al segundo paso: aquí es donde los tres enfoques difieren. En el artículo anterior, mostramos que bajo un par de simplificaciones aceptables, la varianza simple es el promedio de los retornos al cuadrado:
varianza = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 donde: m = número de días medidosn = dayiu = diferencia de retorno del rendimiento promedio \ begin {alineado} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {donde:} \\ & m = \ text {número de días medidos} \\ & n = \ text {día} i \\ & u = \ text {diferencia de rendimiento del rendimiento promedio} \\ \ end {alineado} varianza = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 donde: m = número de días medidosn = dayiu = diferencia de retorno del retorno promedio
Observe que esto suma cada uno de los retornos periódicos, luego divide ese total por el número de días u observaciones (m). Entonces, en realidad es solo un promedio de los retornos periódicos al cuadrado. Dicho de otra manera, cada retorno al cuadrado tiene el mismo peso. Entonces, si alfa (a) es un factor de ponderación (específicamente, a = 1 / m), entonces una variación simple se parece a esto:
El EWMA mejora en la varianza simple
La debilidad de este enfoque es que todos los retornos ganan el mismo peso. El rendimiento de ayer (muy reciente) no tiene más influencia en la variación que el rendimiento del mes pasado. Este problema se soluciona utilizando el promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA), en el que los rendimientos más recientes tienen mayor peso en la varianza.
La media móvil exponencialmente ponderada (EWMA) introduce lambda, que se llama parámetro de suavizado. Lambda debe ser menos de uno. Bajo esa condición, en lugar de pesos iguales, cada retorno al cuadrado se pondera con un multiplicador de la siguiente manera:
Por ejemplo, RiskMetrics TM , una compañía de gestión de riesgos financieros, tiende a usar una lambda de 0.94, o 94%. En este caso, el primer retorno periódico al cuadrado (el más reciente) se pondera por (1-0.94) (. 94) 0 = 6%. El siguiente retorno al cuadrado es simplemente un múltiplo lambda del peso anterior; en este caso 6% multiplicado por 94% = 5.64%. Y el peso del tercer día anterior es igual a (1-0.94) (0.94) 2 = 5.30%.
Ese es el significado de "exponencial" en EWMA: cada peso es un multiplicador constante (es decir, lambda, que debe ser menor que uno) del peso del día anterior. Esto garantiza una variación ponderada o sesgada hacia datos más recientes. La diferencia entre simplemente volatilidad y EWMA para Google se muestra a continuación.
La volatilidad simple pesa efectivamente todos y cada uno de los rendimientos periódicos en un 0.196% como se muestra en la Columna O (tuvimos dos años de datos diarios de precios de acciones. Es decir 509 retornos diarios y 1/509 = 0.196%). Pero observe que la Columna P asigna un peso de 6%, luego 5.64%, luego 5.3% y así sucesivamente. Esa es la única diferencia entre la varianza simple y EWMA.
Recuerde: después de sumar la serie completa (en la columna Q) tenemos la varianza, que es el cuadrado de la desviación estándar. Si queremos volatilidad, debemos recordar tomar la raíz cuadrada de esa varianza.
¿Cuál es la diferencia en la volatilidad diaria entre la varianza y EWMA en el caso de Google ">
La variación de hoy es una función de la variación del día anterior
Notarás que necesitábamos calcular una larga serie de pesos exponencialmente decrecientes. No haremos los cálculos aquí, pero una de las mejores características de EWMA es que toda la serie se reduce convenientemente a una fórmula recursiva:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 donde: λ = el grado de disminución de la ponderaciónσ2 = valor en el período de tiempo nu2 = valor de EWMA en el período de tiempo n \ begin {alineado} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ lambda = \ text {disminuye el grado de ponderación} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valor en el período de tiempo} n \\ & u ^ 2 = \ text {valor de EWMA en el período de tiempo} n \\ \ end {alineado} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 donde: λ = el grado de disminución de la ponderaciónσ2 = valor en el período de tiempo nu2 = valor de EWMA en el período de tiempo n
Recursivo significa que las referencias de varianza de hoy (es decir, es una función de la varianza del día anterior). ¡También puede encontrar esta fórmula en la hoja de cálculo, y produce exactamente el mismo resultado que el cálculo manual! Dice: la varianza de hoy (bajo EWMA) es igual a la varianza de ayer (ponderada por lambda) más el retorno al cuadrado de ayer (ponderado por uno menos lambda). Observe cómo estamos agregando dos términos juntos: la varianza ponderada de ayer y el retorno cuadrado ponderado de ayer.
Aun así, lambda es nuestro parámetro de suavizado. Un lambda más alto (p. Ej., Como el 94% de RiskMetric) indica una disminución más lenta en la serie; en términos relativos, vamos a tener más puntos de datos en la serie y van a "caerse" más lentamente. Por otro lado, si reducimos el lambda, indicamos una mayor disminución: los pesos se caen más rápidamente y, como resultado directo de la rápida disminución, se utilizan menos puntos de datos. (En la hoja de cálculo, lambda es una entrada, por lo que puede experimentar con su sensibilidad).
Resumen
La volatilidad es la desviación estándar instantánea de una acción y la métrica de riesgo más común. También es la raíz cuadrada de la varianza. Podemos medir la varianza histórica o implícitamente (volatilidad implícita). Al medir históricamente, el método más fácil es la varianza simple. Pero la debilidad con la varianza simple es que todos los retornos tienen el mismo peso. Por lo tanto, nos enfrentamos a una compensación clásica: siempre queremos más datos, pero cuantos más datos tengamos, más se diluirá nuestro cálculo con datos distantes (menos relevantes). El promedio móvil ponderado exponencialmente (EWMA) mejora la varianza simple al asignar pesos a los rendimientos periódicos. Al hacer esto, ambos podemos usar un tamaño de muestra grande pero también darle mayor peso a los retornos más recientes.