Optimice su cartera utilizando la distribución normal

La distribución normal es la distribución de probabilidad que traza todos sus valores de manera simétrica con la mayoría de los resultados situados alrededor de la media de la probabilidad.

Distribución normal (curva de campana)

Los conjuntos de datos (como la altura de 100 humanos, las calificaciones obtenidas por 45 alumnos en una clase, etc.) tienden a tener muchos valores en el mismo punto de datos o dentro del mismo rango. Esta distribución de puntos de datos se denomina distribución normal o curva de campana.

Por ejemplo, en un grupo de 100 individuos, 10 pueden tener menos de 5 pies de altura, 65 pueden tener entre 5 y 5.5 pies y 25 pueden tener más de 5.5 pies. Esta distribución limitada por rango se puede trazar de la siguiente manera:

De manera similar, los puntos de datos trazados en gráficos para cualquier conjunto de datos dado pueden parecerse a diferentes tipos de distribuciones. Tres de las más comunes son distribuciones alineadas a la izquierda, alineadas a la derecha y desordenadas:

Tenga en cuenta la línea de tendencia roja en cada uno de estos gráficos. Esto indica aproximadamente la tendencia de distribución de datos. El primero, "Distribución alineada IZQUIERDA", indica que la mayoría de los puntos de datos se encuentran en el rango inferior. En el segundo gráfico "Distribución alineada a la DERECHA", la mayoría de los puntos de datos se ubican en el extremo superior del rango, mientras que el último, "Distribución confusa", representa un conjunto de datos mixtos sin ninguna tendencia clara.

Hay muchos casos en los que la distribución de puntos de datos tiende a estar alrededor de un valor central, y ese gráfico muestra una distribución normal perfecta, igualmente equilibrada en ambos lados, con el mayor número de puntos de datos concentrados en el centro.

Aquí hay un conjunto de datos perfecto, normalmente distribuido:

El valor central aquí es 50 (que tiene la mayor cantidad de puntos de datos), y la distribución se reduce uniformemente hacia valores extremos extremos de 0 y 100 (que tienen la menor cantidad de puntos de datos). La distribución normal es simétrica alrededor del valor central con la mitad de los valores en cada lado.

Muchos ejemplos de la vida real se ajustan a la distribución de la curva de campana:

• Lanza una moneda justa muchas veces (digamos 100 veces o más) y obtendrás una distribución normal equilibrada de cara y cruz.
• Tira un par de dados justos muchas veces (digamos 100 veces o más) y el resultado será una distribución equilibrada y normal centrada alrededor del número 7 y disminuyendo uniformemente hacia valores extremos de 2 y 12.
• La altura de los individuos en un grupo de tamaño considerable y las marcas obtenidas por las personas en una clase siguen patrones normales de distribución.
• En finanzas, cambios en los valores de registro de las tasas de divisas, índices de precios y precios de acciones se supone que se distribuyen normalmente.

Riesgo y devoluciones

Cualquier inversión tiene dos aspectos: riesgo y rentabilidad. Los inversores buscan el menor riesgo posible para el mayor rendimiento posible. La distribución normal cuantifica estos dos aspectos por la media de los rendimientos y la desviación estándar del riesgo. (Para más información, consulte "Análisis de varianza media").

Valor medio o esperado

Un cambio medio particular del precio de una acción podría ser del 1, 5% diario, lo que significa que, en promedio, aumenta un 1, 5%. Se puede llegar a este valor medio o al valor esperado que significa el retorno calculando el promedio en un conjunto de datos lo suficientemente grande que contiene los cambios históricos de precios diarios de ese stock. Cuanto mayor sea la media, mejor.

Desviación Estándar

La desviación estándar indica la cantidad en que los valores se desvían en promedio de la media. Cuanto mayor es la desviación estándar, más riesgosa es la inversión, ya que genera más incertidumbre.

Aquí hay una representación gráfica de lo mismo:

Por lo tanto, la representación gráfica de la distribución normal a través de su media y desviación estándar permite la representación de los retornos y el riesgo dentro de un rango claramente definido.

Es útil saber (y tener la certeza) de que si algún conjunto de datos sigue el patrón de distribución normal, su media nos permitirá saber qué retornos esperar, y su desviación estándar nos permitirá saber que alrededor del 68% de los valores estará dentro de 1 desviación estándar, 95% dentro de 2 desviaciones estándar y 99% de los valores caerá dentro de 3 desviaciones estándar. Un conjunto de datos que tiene una media de 1.5 y una desviación estándar de 1 es mucho más riesgoso que otro conjunto de datos que tiene una media de 1.5 y una desviación estándar de 0.1.

Conocer estos valores para cada activo seleccionado (es decir, acciones, bonos y fondos) hará que el inversor conozca los rendimientos y riesgos esperados.

Es fácil aplicar este concepto y representar el riesgo y el rendimiento de una sola acción, bono o fondo. Pero, ¿puede esto extenderse a una cartera de activos múltiples ">

Las personas comienzan a comerciar comprando una acción o bono o invirtiendo en un fondo mutuo. Gradualmente, tienden a aumentar sus tenencias y comprar múltiples acciones, fondos u otros activos, creando así una cartera. En este escenario incremental, los individuos construyen sus carteras sin una estrategia o mucha previsión. Los gestores de fondos, operadores y creadores de mercado profesionales siguen un método sistemático para construir su cartera utilizando un enfoque matemático llamado teoría moderna de cartera (MPT) que se basa en el concepto de "distribución normal".

Teoría moderna de la cartera

La teoría de cartera moderna (MPT) ofrece un enfoque matemático sistemático que tiene como objetivo maximizar el rendimiento esperado de una cartera para una cantidad dada de riesgo de cartera seleccionando las proporciones de varios activos. Alternativamente, también ofrece minimizar el riesgo para un nivel dado de rendimiento esperado.

Para lograr este objetivo, los activos que se incluirán en la cartera no deben seleccionarse únicamente en función de sus propios méritos individuales, sino en la forma en que cada activo se desempeñará en relación con los otros activos de la cartera.

En pocas palabras, MPT define la mejor manera de lograr la diversificación de la cartera para obtener los mejores resultados posibles: rendimientos máximos para un nivel de riesgo aceptable o riesgo mínimo para un nivel de rendimientos deseado.

Los bloques de construcción

El MPT fue un concepto tan revolucionario cuando se introdujo que sus inventores ganaron un Premio Noble. Esta teoría proporcionó con éxito una fórmula matemática para guiar la diversificación en la inversión.

La diversificación es una técnica de gestión de riesgos, que elimina el riesgo de “todos los huevos en una canasta” al invertir en acciones, sectores o clases de activos no correlacionados. Idealmente, el desempeño positivo de un activo en la cartera cancelará el desempeño negativo de otros activos.

Para tomar el rendimiento promedio de la cartera que tiene n activos diferentes, se calcula la combinación ponderada en proporción de los rendimientos de los activos constituyentes.

Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el rendimiento general de la cartera (R _p ) se calcula como:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

La suma (∑), donde w _i es el peso proporcional del activo i en la cartera, R _i es el rendimiento (media) del activo i.

El riesgo de cartera (o desviación estándar) es una función de las correlaciones de los activos incluidos, para todos los pares de activos (uno con respecto al otro).

Debido a la naturaleza de los cálculos estadísticos y la distribución normal, el riesgo general de cartera (Std-dev) _p se calcula como:

(Std-dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std-dev) i (std-dev) j (cor-cofij)] \ begin {alineado} y \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {alineado} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Aquí, cor-cof es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos i y j, y sqrt es la raíz cuadrada.

Esto se encarga del rendimiento relativo de cada activo con respecto al otro.

Aunque esto parece matemáticamente complejo, el concepto simple aplicado aquí incluye no solo las desviaciones estándar de los activos individuales, sino también las relacionadas entre sí.

Un buen ejemplo está disponible aquí de la Universidad de Washington.

Un ejemplo rápido de MPT

Como experimento mental, imaginemos que somos un administrador de cartera a quien se le ha dado capital y se le asigna la cantidad de capital que se debe asignar a dos activos disponibles (A y B) para que el rendimiento esperado se maximice y se reduzca el riesgo.

También tenemos los siguientes valores disponibles:

R _a = 0.175

R _b = 0.055

(Std-dev) _a = 0.258

(Std-dev) _b = 0.115

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0.164

Comenzando con una asignación igual de 50-50 a cada activo A y B, la R _{p se} calcula a 0.115 y (Std-dev) _p llega a 0.1323. Una comparación simple nos dice que para esta cartera de 2 activos, el rendimiento y el riesgo están a medio camino entre los valores individuales de cada activo.

Sin embargo, nuestro objetivo es mejorar el rendimiento de la cartera más allá del simple promedio de cualquiera de los activos individuales y reducir el riesgo, de modo que sea más bajo que el de los activos individuales.

Tomemos ahora una posición de asignación de capital de 1.5 en el activo A, y una posición de asignación de capital de -0.5 en el activo B. (La asignación de capital negativa significa acortar que el stock y el capital recibido se utilizan para comprar el excedente del otro activo con una asignación de capital positiva. en otras palabras, estamos acortando acciones B por 0.5 veces su capital y usando ese dinero para comprar acciones A por una cantidad 1.5 veces más de capital).

Usando estos valores, obtenemos R _p como 0.1604 y (Std-dev) _p como 0.4005.

Del mismo modo, podemos seguir utilizando diferentes pesos de asignación para los activos A y B, y llegar a diferentes conjuntos de Rp y (Std-dev) p. Según el rendimiento deseado (Rp), se puede elegir el nivel de riesgo más aceptable (std-dev) p. Alternativamente, para el nivel de riesgo deseado, se puede seleccionar el mejor rendimiento de cartera disponible. De cualquier manera, a través de este modelo matemático de teoría de cartera, es posible cumplir el objetivo de crear una cartera eficiente con la combinación deseada de riesgo y rendimiento.

El uso de herramientas automatizadas permite detectar fácilmente y sin problemas las mejores proporciones asignadas posibles fácilmente, sin necesidad de largos cálculos manuales.

La frontera eficiente, el Modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM) y la fijación de precios de activos utilizando MPT también evolucionan del mismo modelo de distribución normal y son una extensión de MPT.

Desafíos para MPT (y distribución normal subyacente)

Desafortunadamente, ningún modelo matemático es perfecto y cada uno tiene deficiencias y limitaciones.

La suposición básica de que los retornos del precio de las acciones siguen la distribución normal en sí misma se cuestiona una y otra vez. Hay pruebas empíricas suficientes de casos en que los valores no se adhieren a la distribución normal supuesta. Basar modelos complejos en tales supuestos puede conducir a resultados con grandes desviaciones.

Yendo más allá en MPT, los cálculos y supuestos sobre el coeficiente de correlación y la covarianza que permanecen fijos (en base a datos históricos) pueden no ser necesariamente válidos para los valores futuros esperados. Por ejemplo, los mercados de bonos y acciones mostraron una correlación perfecta en el mercado del Reino Unido del período 2001 a 2004, donde los rendimientos de ambos activos disminuyeron simultáneamente. En realidad, se ha observado lo contrario durante largos períodos históricos anteriores a 2001.

El comportamiento del inversor no se tiene en cuenta en este modelo matemático. Los impuestos y los costos de transacción se descuidan, a pesar de que se asume la asignación fraccionaria de capital y la posibilidad de acortar los activos.

En realidad, ninguno de estos supuestos puede ser cierto, lo que significa que los rendimientos financieros realizados pueden diferir significativamente de los beneficios esperados.

La línea de fondo

Los modelos matemáticos proporcionan un buen mecanismo para cuantificar algunas variables con números únicos y rastreables. Pero debido a las limitaciones de los supuestos, los modelos pueden fallar.

La distribución normal, que forma la base de la teoría de la cartera, puede no aplicarse necesariamente a las acciones y otros patrones de precios de activos financieros. La teoría de la cartera en sí misma tiene muchos supuestos que deben ser examinados críticamente, antes de tomar decisiones financieras importantes.