Definición del teorema de Bayes
El teorema de Bayes, llamado así por el matemático británico del siglo XVIII Thomas Bayes, es una fórmula matemática para determinar la probabilidad condicional. El teorema proporciona una manera de revisar las predicciones o teorías existentes (probabilidades de actualización) dada evidencia nueva o adicional. En finanzas, el teorema de Bayes puede usarse para calificar el riesgo de prestar dinero a prestatarios potenciales.
El teorema de Bayes también se llama Regla de Bayes o Ley de Bayes y es la base del campo de las estadísticas bayesianas.
Para llevar clave
- El Teorema de Bayes le permite actualizar las probabilidades pronosticadas de un evento incorporando nueva información.
- El teorema de Bayes lleva el nombre del matemático del siglo XVIII Thomas Bayes.
- A menudo se emplea en finanzas para actualizar la evaluación de riesgos.
La fórmula para el teorema de Bayes es
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) donde: P (A) = La probabilidad de que ocurra A P (B) = La probabilidad de que ocurra B P (A∣B) = La probabilidad de A dada BP (B∣A) = La probabilidad de B dada AP (A⋂B)) = La probabilidad de que ocurran A y B \ begin {alineado} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {donde:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {La probabilidad de que ocurra A} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {La probabilidad de que ocurra B} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {La probabilidad de A dada B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {La probabilidad de B dada A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {La probabilidad de que ocurran A y B} \\ \ end {alineado} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) donde: P (A) = La probabilidad de que ocurra A P (B) = El probabilidad de que ocurra B P (A∣B) = La probabilidad de A dada BP (B∣A) = La probabilidad de B dada AP (A⋂B)) = La probabilidad de que ocurran A y B
Teorema de Bayes explicado
Las aplicaciones del teorema están muy extendidas y no se limitan al ámbito financiero. Como ejemplo, el teorema de Bayes se puede usar para determinar la precisión de los resultados de las pruebas médicas teniendo en cuenta la probabilidad de que una persona determinada tenga una enfermedad y la precisión general de la prueba. El teorema de Bayes se basa en incorporar distribuciones de probabilidad previas para generar probabilidades posteriores. La probabilidad previa, en inferencia estadística bayesiana, es la probabilidad de un evento antes de que se recopilen nuevos datos. Esta es la mejor evaluación racional de la probabilidad de un resultado basada en el conocimiento actual antes de realizar un experimento. La probabilidad posterior es la probabilidad revisada de que ocurra un evento después de tener en cuenta la información nueva. La probabilidad posterior se calcula actualizando la probabilidad anterior utilizando el teorema de Bayes. En términos estadísticos, la probabilidad posterior es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido.
El teorema de Bayes da así la probabilidad de un evento basado en nueva información que está, o puede estar relacionada, con ese evento. La fórmula también se puede usar para ver cómo la probabilidad de que ocurra un evento se ve afectada por la nueva información hipotética, suponiendo que la nueva información resulte ser cierta. Por ejemplo, digamos que una sola carta se extrae de un mazo completo de 52 cartas. La probabilidad de que la carta sea un rey es 4 dividida por 52, lo que equivale a 1/13 o aproximadamente 7.69%. Recuerda que hay 4 reyes en la baraja. Ahora, supongamos que se revela que la carta seleccionada es una carta de cara. La probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey, dado que es una carta de cara, es 4 dividida por 12, o aproximadamente 33.3%, ya que hay 12 cartas de cara en una baraja.
Derivando la fórmula del teorema de Bayes con un ejemplo
El teorema de Bayes se sigue simplemente de los axiomas de la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro evento. Por ejemplo, una pregunta de probabilidad simple puede ser: "¿Cuál es la probabilidad de que caiga el precio de las acciones de Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN)?" La probabilidad condicional lleva esta pregunta un paso más allá al preguntar: "¿Cuál es la probabilidad de caída del precio de las acciones de AMZN dado que el índice Dow Jones Industrial Average (DJIA) cayó antes?"
La probabilidad condicional de A dado que B ha sucedido puede expresarse como:
Si A es: "el precio AMZN cae", entonces P (AMZN) es la probabilidad de que AMZN caiga; y B es: "DJIA ya está caído", y P (DJIA) es la probabilidad de que caiga el DJIA; entonces la expresión de probabilidad condicional se lee como "la probabilidad de que AMZN caiga dado un descenso de DJIA es igual a la probabilidad de que el precio de AMZN disminuya y DJIA disminuya sobre la probabilidad de una disminución en el índice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN y DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN y DJIA) es la probabilidad de que ocurran A y B. Esto también es lo mismo que la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que B ocurra dado que A ocurre, expresada como P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). El hecho de que estas dos expresiones sean iguales conduce al teorema de Bayes, que se escribe como:
si, P (AMZN y DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
entonces, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Donde P (AMZN) y P (DJIA) son las probabilidades de que Amazon y el Dow Jones caigan, sin tener en cuenta el uno al otro.
La fórmula explica la relación entre la probabilidad de la hipótesis antes de ver la evidencia de que P (AMZN) y la probabilidad de la hipótesis después de obtener la evidencia P (AMZN | DJIA), dada una hipótesis de Amazon dada evidencia en el Dow.
Ejemplo numérico del teorema de Bayes
Como ejemplo numérico, imagine que hay una prueba de drogas que es 98% precisa, lo que significa que el 98% de las veces muestra un resultado positivo verdadero para alguien que usa la droga y el 98% de las veces muestra un resultado negativo verdadero para los no usuarios de fármaco. Luego, suponga que 0.5% de las personas usan la droga. Si una persona seleccionada al azar da positivo por la droga, se puede hacer el siguiente cálculo para ver si la probabilidad de que la persona sea realmente usuaria de la droga.
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 - 0.98) x (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
El teorema de Bayes muestra que incluso si una persona dio positivo en este escenario, en realidad es mucho más probable que la persona no sea usuaria de la droga.
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