Modelo de Black Scholes
El modelo Black Scholes, también conocido como el modelo Black-Scholes-Merton (BSM), es un modelo matemático para fijar el precio de un contrato de opciones. En particular, el modelo estima la variación en el tiempo de los instrumentos financieros, como las acciones, y el uso de la volatilidad implícita del activo subyacente deriva el precio de una opción de compra.
Para llevar clave
- El modelo Black-Scholes Merton (BSM) es una ecuación diferencial utilizada para resolver los precios de las opciones.
- La modelo ganó el premio Nobel de economía.
- El modelo BSM estándar solo se usa para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones de los EE. UU. Podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento.
Los fundamentos del modelo de Black Scholes
El modelo supone que el precio de los activos altamente negociados sigue un movimiento browniano geométrico con constante deriva y volatilidad. Cuando se aplica a una opción sobre acciones, el modelo incorpora la variación de precio constante de las acciones, el valor temporal del dinero, el precio de ejercicio de la opción y el tiempo hasta el vencimiento de la opción.
También llamado Black-Scholes-Merton, fue el primer modelo ampliamente utilizado para la fijación de precios de opciones. Se utiliza para calcular el valor teórico de las opciones utilizando los precios actuales de las acciones, los dividendos esperados, el precio de ejercicio de la opción, las tasas de interés esperadas, el tiempo de vencimiento y la volatilidad esperada.
La fórmula, desarrollada por tres economistas, Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton, es quizás el modelo de precios de opciones más conocido del mundo. Fue presentado en su artículo de 1973, "El precio de las opciones y los pasivos corporativos", publicado en el Journal of Political Economy . Black falleció dos años antes de que Scholes y Merton recibieran el Premio Nobel de Economía de 1997 por su trabajo para encontrar un nuevo método para determinar el valor de los derivados (el Premio Nobel no se otorga póstumamente; sin embargo, el comité Nobel reconoció el papel de Black en el Modelo Black-Scholes).
El modelo Black-Scholes hace ciertas suposiciones:
- La opción es europea y solo puede ejercerse al vencimiento.
- No se pagan dividendos durante la vida de la opción.
- Los mercados son eficientes (es decir, no se pueden predecir los movimientos del mercado).
- No hay costos de transacción al comprar la opción.
- La tasa libre de riesgo y la volatilidad del subyacente son conocidas y constantes.
- Los retornos sobre el subyacente se distribuyen normalmente.
Si bien el modelo original de Black-Scholes no consideró los efectos de los dividendos pagados durante la vigencia de la opción, el modelo se adapta con frecuencia para contabilizar los dividendos al determinar el valor de la fecha ex dividendo de la acción subyacente.
La fórmula de Black Scholes
Las matemáticas involucradas en la fórmula son complicadas y pueden ser intimidantes. Afortunadamente, no necesita saber o comprender las matemáticas para usar el modelado Black-Scholes en sus propias estrategias. Los operadores de opciones tienen acceso a una variedad de calculadoras de opciones en línea, y muchas de las plataformas de negociación actuales cuentan con sólidas herramientas de análisis de opciones, incluidos indicadores y hojas de cálculo que realizan los cálculos y generan los valores de precios de las opciones.
La fórmula de la opción de compra Black Scholes se calcula multiplicando el precio de las acciones por la función de distribución de probabilidad normal estándar acumulativa. A partir de entonces, el valor presente neto (VAN) del precio de ejercicio multiplicado por la distribución normal estándar acumulativa se resta del valor resultante del cálculo anterior.
En notación matemática:
C = StN (d1) −Ke − rtN (d2) donde: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 − σs twhere: C = Precio de la opción de compra S = Stock actual (u otro subyacente) precioK = Precio de ataque = Tasa de interés libre de riesgot = Tiempo hasta el vencimientoN = Una distribución normal \ begin {alineado} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {donde:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {and} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {donde:} \\ & C = \ text {Precio de la opción de compra} \\ & S = \ text {Stock actual (u otro subyacente) precio} \\ & K = \ text {Precio de ejercicio} \\ & r = \ text {Tasa de interés libre de riesgo} \\ & t = \ text {Tiempo hasta el vencimiento} \\ & N = \ text {Una distribución normal} \ \ \ end {alineado} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) donde: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t donde: C = Precio de la opción de compra S = Precio de acciones actuales (u otro precio subyacente) K = Precio de ejercicio = Tasa de interés libre de riesgo t = Tiempo hasta el vencimientoN = Una distribución normal
1:33Modelo Black-Scholes
¿Qué le dice el modelo Black Scholes?
El modelo Black Scholes es uno de los conceptos más importantes en la teoría financiera moderna. Fue desarrollado en 1973 por Fischer Black, Robert Merton y Myron Scholes y todavía se usa ampliamente en la actualidad. Es considerada como una de las mejores formas de determinar precios justos de opciones. El modelo Black Scholes requiere cinco variables de entrada: el precio de ejercicio de una opción, el precio actual de las acciones, el tiempo de vencimiento, la tasa libre de riesgo y la volatilidad.
El modelo supone que los precios de las acciones siguen una distribución lognormal porque los precios de los activos no pueden ser negativos (están limitados por cero). Esto también se conoce como distribución gaussiana. A menudo, se observa que los precios de los activos tienen una asimetría significativa y cierto grado de curtosis (colas gruesas). Esto significa que los movimientos descendentes de alto riesgo a menudo ocurren con más frecuencia en el mercado de lo que predice una distribución normal.
La suposición de los precios de los activos subyacentes lognormales debería mostrar que las volatilidades implícitas son similares para cada precio de ejercicio de acuerdo con el modelo Black-Scholes. Sin embargo, desde el colapso del mercado de 1987, las volatilidades implícitas en las opciones de dinero han sido más bajas que las que están más lejos del dinero o lejos en el dinero. La razón de este fenómeno es que el mercado está valorando en una mayor probabilidad de un movimiento de alta volatilidad a la baja en los mercados.
Esto ha llevado a la presencia del sesgo de volatilidad. Cuando las volatilidades implícitas para las opciones con la misma fecha de vencimiento se trazan en un gráfico, se puede ver una sonrisa o una forma oblicua. Por lo tanto, el modelo Black-Scholes no es eficiente para calcular la volatilidad implícita.
Limitaciones del modelo de Black Scholes
Como se indicó anteriormente, el modelo Black Scholes solo se usa para fijar el precio de las opciones europeas y no tiene en cuenta que las opciones de los EE. UU. Podrían ejercerse antes de la fecha de vencimiento. Además, el modelo supone que los dividendos y las tasas libres de riesgo son constantes, pero esto puede no ser cierto en la realidad. El modelo también supone que la volatilidad permanece constante durante la vida útil de la opción, lo cual no es el caso porque la volatilidad fluctúa con el nivel de oferta y demanda.
Además, el modelo supone que no hay costos de transacción ni impuestos; que la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos; que se permite la venta en corto de valores con el uso del producto; y que no hay oportunidades de arbitraje sin riesgo. Estas suposiciones pueden conducir a precios que se desvían del mundo real donde están presentes estos factores.