La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica

Hay muchas formas de medir el desempeño de la cartera financiera y determinar si una estrategia de inversión es exitosa. Los profesionales de inversiones a menudo usan el promedio geométrico , más comúnmente llamado la media geométrica, para hacer esto.

La media geométrica difiere de la media aritmética, o media aritmética, en cómo se calcula porque tiene en cuenta la composición que ocurre de un período a otro. Debido a esto, los inversores generalmente consideran que la media geométrica es una medida de rendimiento más precisa que la media aritmética.

La fórmula para el promedio aritmético

A = 1n∑i = 1nai = a1 + a2 + ... + annwhere: a1, a2, ..., an = La cartera devuelve para el período nn = Número de períodos \ begin {alineado} & A = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \\ & \ textbf {donde:} \\ & a_1, a_2, \ dotso, a_n = \ text {La cartera devuelve para punto} n \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alineado} A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an donde: a1, a2, ..., an = Cartera devuelve para el período nn = Número de períodos

Significado aritmetico

Cómo calcular el promedio aritmético

Un promedio aritmético es la suma de una serie de números dividida por el recuento de esa serie de números.

Si se le solicitara encontrar el promedio de la clase (aritmética) de los puntajes de los exámenes, simplemente sumaría todos los puntajes de los exámenes de los estudiantes y luego dividiría esa suma entre el número de estudiantes. Por ejemplo, si cinco estudiantes tomaron un examen y sus puntajes fueron 60%, 70%, 80%, 90% y 100%, el promedio de la clase de aritmética sería 80%.

Esto se calcularía como:

60% + 70% + 80% + 90% + 100% 5 = 80% \ begin {alineado} & \ frac {60 \% + 70 \% + 80 \% + 90 \% + 100 \%} {5 } = 80 \% \\ \ end {alineado} 560% + 70% + 80% + 90% + 100% = 80%

La razón por la que usamos un promedio aritmético para los puntajes de las pruebas es que cada puntaje es un evento independiente. Si un estudiante tiene un bajo rendimiento en el examen, las posibilidades de que el próximo estudiante tenga un rendimiento pobre (o bueno) en el examen no se ven afectadas.

En el mundo de las finanzas, la media aritmética no suele ser un método apropiado para calcular un promedio. Considere los retornos de inversión, por ejemplo. Supongamos que ha invertido sus ahorros en los mercados financieros durante cinco años. Si su rendimiento de cartera cada año fuera del 90%, 10%, 20%, 30% y -90%, ¿cuál sería su rendimiento promedio durante este período?

Con el promedio aritmético, el rendimiento promedio sería del 12%, lo que a primera vista parece impresionante, pero no es del todo exacto. Esto se debe a que cuando se trata de retornos anuales de inversión, los números no son independientes entre sí. Si pierde una cantidad sustancial de dinero en un año en particular, tiene mucho menos capital para invertir y generar ganancias en los años siguientes.

Necesitaríamos calcular el promedio geométrico de sus retornos de inversión para llegar a una medición precisa de cuál sería su rendimiento anual promedio real durante el período de cinco años.

La fórmula para el promedio geométrico

(∏i = 1nxi) 1n = x1x2 ... xnnwhere: x1, x2, ⋯ = Cartera devuelve para cada períodon = Número de períodos \ begin {alineado} & \ left (\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ sqrt [n] {x_1 x_2 \ dots x_n} \\ & \ textbf {donde:} \\ & x_1, x_2, \ dots = \ text {La cartera devuelve para cada período } \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alineado} (i = 1∏n xi) n1 = nx1 x2… xn donde: x1, x2, ⋯ = Devoluciones de cartera para cada período n = Número de períodos

Cómo calcular el promedio geométrico

La media geométrica para una serie de números se calcula tomando el producto de estos números y elevándolo al inverso de la longitud de la serie.

Para hacer esto, agregamos uno a cada número (para evitar problemas con porcentajes negativos). Luego, multiplique todos los números y eleve su producto a la potencia de uno dividido por el recuento de los números de la serie. Luego, restamos uno del resultado.

La fórmula, escrita en decimales, se ve así:

[(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] 1n − 1 donde: R = Retornon = Recuento de los números en la serie \ begin {alineado} & [( 1 + \ text {R} _1) \ times (1 + \ text {R} _2) \ times (1 + \ text {R} _3) \ dotso \ times (1 + \ text {R} _n)] ^ { \ frac {1} {n}} - 1 \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {R} = \ text {Return} \\ & n = \ text {Recuento de los números de la serie} \ \ \ end {alineado} [(1 + R1) × (1 + R2) × (1 + R3)… × (1 + Rn)] n1 −1 donde: R = Retornon = Recuento de los números en la serie

La fórmula parece ser bastante intensa, pero en el papel, no es tan compleja. Volviendo a nuestro ejemplo, calculemos el promedio geométrico: nuestros retornos fueron 90%, 10%, 20%, 30% y -90%, por lo que los conectamos a la fórmula como:

(1.9 × 1.1 × 1.2 × 1.3 × 0.1) 15−1 \ begin {alineado} & (1.9 \ times 1.1 \ times 1.2 \ times 1.3 \ times 0.1) ^ {\ frac {1} {5}} -1 \ \ \ end {alineado} (1.9 × 1.1 × 1.2 × 1.3 × 0.1) 51 −1

El resultado arroja un rendimiento anual promedio geométrico de -20.08%. El resultado usando el promedio geométrico es mucho peor que el promedio aritmético del 12% que calculamos anteriormente, y desafortunadamente, también es el número que representa la realidad en este caso.

Para llevar clave

• La media geométrica es más apropiada para series que exhiben correlación serial. Esto es especialmente cierto para las carteras de inversión.
• La mayoría de los rendimientos en finanzas están correlacionados, incluidos los rendimientos de los bonos, los rendimientos de acciones y las primas de riesgo de mercado. Cuanto más largo es el horizonte temporal, se vuelve más crítica la composición y más apropiado es el uso de la media geométrica.
• Para los números volátiles, el promedio geométrico proporciona una medición mucho más precisa del rendimiento real al tener en cuenta la capitalización interanual.