Cómo usar la simulación de Monte Carlo con GBM

Una de las formas más comunes de estimar el riesgo es el uso de una simulación Monte Carlo (MCS). Por ejemplo, para calcular el valor en riesgo (VaR) de una cartera, podemos ejecutar una simulación de Monte Carlo que intente predecir la pérdida más probable para una cartera dado un intervalo de confianza en un horizonte temporal especificado (siempre necesitamos especificar dos condiciones para VaR: confianza y horizonte).

En este artículo, revisaremos un MCS básico aplicado al precio de una acción usando uno de los modelos más comunes en las finanzas: el movimiento browniano geométrico (GBM). Por lo tanto, si bien la simulación de Monte Carlo puede referirse a un universo de diferentes enfoques de simulación, comenzaremos aquí con el más básico.

Donde empezar

Una simulación de Monte Carlo es un intento de predecir el futuro muchas veces. Al final de la simulación, miles o millones de "ensayos aleatorios" producen una distribución de resultados que pueden analizarse. Los pasos básicos son los siguientes:

1. Especifique un modelo (por ejemplo, GBM)

Para este artículo, utilizaremos el Movimiento Geométrico Browniano (GBM), que técnicamente es un proceso de Markov. Esto significa que el precio de las acciones sigue un recorrido aleatorio y es consistente (como mínimo) con la forma débil de la hipótesis del mercado eficiente (EMH): la información de precios pasada ya está incorporada y el próximo movimiento de precios es "condicionalmente independiente" de movimientos de precios pasados.

La fórmula para GBM se encuentra a continuación:

Dónde:

• S = el precio de la acción
• Δ S = El cambio en el precio de las acciones
• μ = El retorno esperado
• σ = La desviación estándar de los retornos
• ϵ = La variable aleatoria
• Δ t = El período de tiempo transcurrido

Si reorganizamos la fórmula para resolver solo el cambio en el precio de las acciones, vemos que GBM dice que el cambio en el precio de las acciones es el precio de las acciones "S" multiplicado por los dos términos que se encuentran dentro del paréntesis a continuación:

El primer término es una "deriva" y el segundo término es un "shock". Para cada período de tiempo, nuestro modelo asume que el precio "subirá" por el rendimiento esperado. Pero la deriva se sorprenderá (sumará o restará) por una descarga aleatoria. El choque aleatorio será la desviación estándar "s" multiplicada por un número aleatorio "e". Esto es simplemente una forma de escalar la desviación estándar.

Esa es la esencia de GBM, como se ilustra en la Figura 1. El precio de la acción sigue una serie de pasos, donde cada paso es una deriva más o menos un choque aleatorio (en sí mismo una función de la desviación estándar de la acción):

Figura 1

2. Generar ensayos aleatorios

Armados con una especificación de modelo, luego procedemos a ejecutar ensayos aleatorios. Para ilustrar, hemos usado Microsoft Excel para ejecutar 40 pruebas. Tenga en cuenta que esta es una muestra poco realista; La mayoría de las simulaciones o "sims" ejecutan al menos varios miles de pruebas.

En este caso, supongamos que la acción comienza el día cero con un precio de $ 10. Aquí hay una tabla del resultado donde cada paso de tiempo (o intervalo) es un día y la serie se ejecuta durante diez días (en resumen: cuarenta ensayos con pasos diarios durante diez días):

Figura 2: movimiento browniano geométrico

El resultado son cuarenta precios de acciones simulados al final de 10 días. No ha pasado nada por debajo de $ 9, y uno está por encima de $ 11.

3. Procesar la salida

La simulación produjo una distribución de hipotéticos resultados futuros. Podríamos hacer varias cosas con la salida.

Si, por ejemplo, queremos estimar el VaR con un 95% de confianza, entonces solo necesitamos ubicar el trigésimo octavo resultado clasificado (el tercer peor resultado). Esto se debe a que 2/40 equivale al 5%, por lo que los dos peores resultados se encuentran en el 5% más bajo.

Si apilamos los resultados ilustrados en contenedores (cada contenedor es un tercio de $ 1, entonces tres contenedores cubren el intervalo de $ 9 a $ 10), obtendremos el siguiente histograma:

figura 3

Recuerde que nuestro modelo GBM asume normalidad; los retornos de precios se distribuyen normalmente con el retorno esperado (media) "m" y la desviación estándar "s". Curiosamente, nuestro histograma no se ve normal. De hecho, con más ensayos, no tenderá a la normalidad. En cambio, tenderá hacia una distribución lognormal: una caída brusca a la izquierda de la media y una "cola larga" muy sesgada a la derecha de la media.

Esto a menudo conduce a una dinámica potencialmente confusa para los estudiantes primerizos:

• Las devoluciones de precios se distribuyen normalmente.
• Los niveles de precios se distribuyen normalmente en el registro.

Piénselo de esta manera: una acción puede subir o bajar 5% o 10%, pero después de un cierto período de tiempo, el precio de la acción no puede ser negativo. Además, los aumentos de precios al alza tienen un efecto compuesto, mientras que las reducciones de los precios a la baja reducen la base: pierden un 10% y la próxima vez quedan menos para perder.

Aquí hay un gráfico de la distribución lognormal superpuesta a nuestros supuestos ilustrados (por ejemplo, precio inicial de $ 10):

Figura 4

La línea de fondo

Una simulación de Monte Carlo aplica un modelo seleccionado (que especifica el comportamiento de un instrumento) a un gran conjunto de ensayos aleatorios en un intento de producir un conjunto plausible de posibles resultados futuros. Con respecto a la simulación de los precios de las acciones, el modelo más común es el movimiento browniano geométrico (GBM). GBM supone que una deriva constante va acompañada de choques aleatorios. Si bien los retornos del período bajo GBM se distribuyen normalmente, los niveles de precios consecuentes de varios períodos (por ejemplo, diez días) se distribuyen de manera lognormal.