Comprensión del modelo de precios de opciones binomiales

Acordar precios precisos para cualquier activo negociable es un desafío, es por eso que los precios de las acciones cambian constantemente. En realidad, las empresas apenas cambian sus valoraciones en el día a día, pero los precios y las valoraciones de sus acciones cambian casi cada segundo. Esta dificultad para llegar a un consenso sobre la fijación de precios correcta para cualquier activo negociable conduce a oportunidades de arbitraje de corta duración.

Pero muchas inversiones exitosas se reducen a una simple cuestión de valoración actual: ¿cuál es el precio actual correcto hoy para un pago futuro esperado?

Valoración de opciones binominales

En un mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitraje, los activos con estructuras de pago idénticas deben tener el mismo precio. La valoración de las opciones ha sido una tarea difícil y las variaciones de precios conducen a oportunidades de arbitraje. Black-Scholes sigue siendo uno de los modelos más populares utilizados para las opciones de precios, pero tiene limitaciones.

El modelo de precios de opciones binomiales es otro método popular utilizado para las opciones de precios.

Ejemplos

Suponga que hay una opción de compra sobre una acción en particular con un precio de mercado actual de $ 100. La opción at-the-money (ATM) tiene un precio de ejercicio de $ 100 con un plazo de vencimiento de un año. Hay dos operadores, Peter y Paula, que están de acuerdo en que el precio de las acciones aumentará a $ 110 o caerá a $ 90 en un año.

Están de acuerdo con los niveles de precios esperados en un período de tiempo determinado de un año, pero no están de acuerdo con la probabilidad del movimiento hacia arriba o hacia abajo. Peter cree que la probabilidad de que el precio de la acción llegue a $ 110 es del 60%, mientras que Paula cree que es del 40%.

En base a eso, ¿quién estaría dispuesto a pagar más precio por la opción de compra? Posiblemente Peter, ya que espera una alta probabilidad del movimiento ascendente.

Cálculos de opciones binominales

Los dos activos, de los que depende la valoración, son la opción de compra y las acciones subyacentes. Existe un acuerdo entre los participantes de que el precio de las acciones subyacentes puede pasar de los $ 100 actuales a $ 110 o $ 90 en un año y no hay otros movimientos de precios posibles.

En un mundo libre de arbitraje, si tiene que crear una cartera compuesta por estos dos activos, opción de compra y acciones subyacentes, de modo que, independientemente de dónde vaya el precio subyacente ($ 110 o $ 90), el rendimiento neto de la cartera siempre permanece igual . Suponga que compra acciones "d" de opciones de compra subyacentes y cortas para crear esta cartera.

Si el precio llega a $ 110, sus acciones tendrán un valor de $ 110 * d, y perderá $ 10 en el pago de la llamada corta. El valor neto de su cartera será (110d - 10).

Si el precio baja a $ 90, sus acciones tendrán un valor de $ 90 * d, y la opción caducará sin valor. El valor neto de su cartera será (90d).

Si desea que el valor de su cartera permanezca igual independientemente de dónde vaya el precio de la acción subyacente, entonces el valor de su cartera debe permanecer igual en cualquier caso:

h (d) −m = l (d) donde: h = Precio subyacente potencial más alto = Número de acciones subyacentesm = Dinero perdido en pagos cortos calll = Precio subyacente potencial más bajo \ comenzar {alineado} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {donde:} \\ & h = \ text {Precio subyacente potencial más alto} \\ & d = \ text {Número de acciones subyacentes} \\ & m = \ text {Dinero perdido en pagos cortos} \\ & l = \ text {Precio subyacente potencial más bajo} \\ \ end {alineado} h (d) −m = l (d) donde: h = Precio subyacente potencial más alto = Número de acciones subyacentesm = Dinero perdido en llamadas cortas pago = precio subyacente potencial más bajo

Por lo tanto, si compra la mitad de una acción, suponiendo que las compras fraccionarias sean posibles, podrá crear una cartera para que su valor permanezca igual en los dos estados posibles dentro del plazo de un año.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {alineado} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {alineado} 110d − 10 = 90dd = 21

Este valor de cartera, indicado por (90d) o (110d - 10) = 45, es un año más adelante. Para calcular su valor presente, puede descontarse por la tasa de rendimiento libre de riesgo (suponiendo un 5%).

Valor actual = 90d × e (−5% × 1 año) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ begin {alineado} \ text {Valor actual} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Año})} \\ & = 45 \ veces 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ end {alineado} Valor actual = 90d × e (−5% × 1 año) = 45 × 0.9523 = 42.85

Como actualmente, la cartera está compuesta por ½ acción de acciones subyacentes (con un precio de mercado de $ 100) y una llamada corta, debe ser igual al valor presente.

12 × 100−1 × Precio de llamada = $ 42.85 Precio de llamada = $ 7.14, es decir, el precio de llamada de hoy \ begin {alineado} & \ frac {1} {2} \ veces 100 - 1 \ veces \ texto {Precio de llamada} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Precio de llamada} = \ $ 7.14 \ text {, es decir, el precio de llamada de hoy} \\ \ end {alineado} 21 × 100−1 × Precio de llamada = $ 42.85 Precio de llamada = $ 7.14, es decir el precio de llamada de hoy

Dado que esto se basa en la suposición de que el valor de la cartera sigue siendo el mismo independientemente de la forma en que vaya el precio subyacente, la probabilidad de un movimiento hacia arriba o hacia abajo no juega ningún papel. La cartera permanece libre de riesgos independientemente de los movimientos de precios subyacentes.

En ambos casos (se supone que sube a $ 110 y baja a $ 90), su cartera es neutral al riesgo y gana la tasa de rendimiento libre de riesgo.

Por lo tanto, los operadores, Peter y Paula, estarían dispuestos a pagar los mismos $ 7.14 por esta opción de compra, a pesar de sus diferentes percepciones de las probabilidades de movimientos ascendentes (60% y 40%). Sus probabilidades percibidas individualmente no importan en la valoración de opciones.

Suponiendo, en cambio, que las probabilidades individuales importan, las oportunidades de arbitraje pueden haberse presentado. En el mundo real, tales oportunidades de arbitraje existen con diferenciales de precios menores y desaparecen en el corto plazo.

Pero, ¿dónde está la volatilidad muy publicitada en todos estos cálculos, un factor importante y sensible que afecta el precio de las opciones?

La volatilidad ya está incluida en la naturaleza de la definición del problema. Suponiendo dos (y solo dos, de ahí el nombre "binomial") de los niveles de precios ($ 110 y $ 90), la volatilidad está implícita en este supuesto y se incluye automáticamente (10% de cualquier manera en este ejemplo).

Scholes negro

¿Pero es este enfoque correcto y coherente con los precios de Black-Scholes comúnmente utilizados? Los resultados de la calculadora de opciones (cortesía de OIC) coinciden estrechamente con el valor calculado:

Desafortunadamente, el mundo real no es tan simple como “solo dos estados”. La acción puede alcanzar varios niveles de precios antes del tiempo de vencimiento.

¿Es posible incluir todos estos niveles múltiples en un modelo de precios binomial que está restringido a solo dos niveles ">

Matemática simple

Para generalizar este problema y solución:

"X" es el precio de mercado actual de una acción y "X * u" y "X * d" son los precios futuros de los movimientos hacia arriba y hacia abajo "t" años después. El factor "u" será mayor que uno, ya que indica un movimiento hacia arriba y "d" estará entre cero y uno. Para el ejemplo anterior, u = 1.1 yd = 0.9.

Los pagos de la opción de compra son "P _up " y "P _dn " para movimientos ascendentes y descendentes en el momento del vencimiento.

Si construye una cartera de acciones "s" compradas hoy y una opción de compra corta, luego de tiempo "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Valor de la cartera en caso de un movimiento hacia arriba \ begin {alineado} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valor de la cartera en caso de un movimiento hacia arriba} \\ \ end {alineado} VUM = s × X × u − Pup donde: VUM = Valor de la cartera en caso de un movimiento ascendente

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Valor de la cartera en caso de un movimiento hacia abajo \ begin {alineado} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valor de la cartera en caso de un movimiento descendente} \\ \ end {alineado} VDM = s × X × d − Pdown donde: VDM = Valor de la cartera en caso de una bajada

Para una valoración similar en cualquier caso de movimiento de precios:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = El número de acciones para comprar = una cartera libre de riesgo \ begin {alineado} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {El número de acciones a comprar para} \\ & \ phantom {=} \ text {una cartera libre de riesgos} \\ \ end {alineado} s = X × (u − d) Pup −Pdown = El número de acciones para comprar = una cartera libre de riesgos

El valor futuro de la cartera al final de los años "t" será:

En caso de movimiento hacia arriba = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {alineado} \ text {En caso de movimiento hacia arriba} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {alineado} En caso de Movimiento arriba = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

En caso de movimiento hacia abajo = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {alineado} \ text {En caso de movimiento hacia abajo} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {alineado} En caso de Movimiento hacia abajo = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

El valor actual se puede obtener descontándolo con la tasa de rendimiento libre de riesgo:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] donde: PV = Valor actual = Tasa de retorno = Tiempo, en años \ comenzar {alineado} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { donde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual} }\\ & r = \ text {Tasa de retorno} \\ & t = \ text {Tiempo, en años} \\ \ end {alineado} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] donde: PV = Valor actual = Tasa de retorno = Tiempo, en años

Esto debe coincidir con la tenencia de cartera de acciones "s" al precio X, y el valor de compra corto "c" (la tenencia actual de (s * X - c) debe ser equivalente a este cálculo). Resolver "c" finalmente le da como:

Nota: Si la prima de la llamada está en corto, debería ser una adición a la cartera, no una resta.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown]

Otra forma de escribir la ecuación es reorganizándola:

Tomando "q" como:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Entonces la ecuación se convierte en:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ texto {abajo}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Reorganizar la ecuación en términos de "q" ha ofrecido una nueva perspectiva.

Ahora puede interpretar “q” como la probabilidad del movimiento ascendente del subyacente (ya que “q” está asociado con P _arriba y “1-q” está asociado con P _dn ). En general, la ecuación representa el precio de la opción actual, el valor descontado de su pago al vencimiento.

Esta "Q" es diferente

¿Cómo es esta probabilidad "q" diferente de la probabilidad de un movimiento hacia arriba o hacia abajo del subyacente ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d donde: VSP = Valor del precio de la acción en el tiempo t \ begin {alineado} & \ text {VSP} = q \ veces X \ veces u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valor del precio de las acciones en el momento} t \\ \ end {alineado} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d donde: VSP = Valor del precio de la acción en el tiempo t

Sustituyendo el valor de "q" y reorganizando, el precio de la acción en el tiempo "t" llega a:

Precio de la acción = e (rt) × X \ begin {alineado} & \ text {Precio de la acción} = e (rt) \ times X \\ \ end {alineado} Precio de la acción = e (rt) × X

En este supuesto mundo de dos estados, el precio de las acciones simplemente aumenta por la tasa de rendimiento libre de riesgo, exactamente como un activo libre de riesgo, y por lo tanto, permanece independiente de cualquier riesgo. Los inversores son indiferentes al riesgo bajo este modelo, por lo que este constituye el modelo neutral al riesgo.

La probabilidad "q" y "(1-q)" se conocen como probabilidades de riesgo neutral y el método de valoración se conoce como el modelo de valoración de riesgo neutral.

El escenario de ejemplo tiene un requisito importante: la estructura de pago futura se requiere con precisión (nivel $ 110 y $ 90). En la vida real, tal claridad sobre los niveles de precios basados ​​en pasos no es posible; más bien el precio se mueve al azar y puede establecerse en múltiples niveles.

Para ampliar aún más el ejemplo, suponga que son posibles niveles de precios de dos pasos. Conocemos los pagos finales del segundo paso y necesitamos valorar la opción hoy (en el paso inicial):

Trabajando hacia atrás, la valoración del primer paso intermedio (en t = 1) se puede hacer usando los pagos finales en el paso dos (t = 2), luego usando estas valoraciones calculadas del primer paso (t = 1), la valoración actual (t = 0) se puede llegar con estos cálculos.

Para obtener el precio de la opción en el número dos, se utilizan los pagos a las cuatro y cinco. Para obtener el precio para el número tres, se utilizan los pagos a las cinco y seis. Finalmente, los pagos calculados en dos y tres se utilizan para obtener precios en el número uno.

Tenga en cuenta que este ejemplo supone el mismo factor para los movimientos hacia arriba (y hacia abajo) en ambos pasos: u y d se aplican de manera compuesta.

Un ejemplo de trabajo

Suponga que una opción de venta con un precio de ejercicio de $ 110 se cotiza actualmente a $ 100 y expira en un año. La tasa anual libre de riesgo es del 5%. Se espera que el precio aumente en un 20% y disminuya en un 15% cada seis meses.

Aquí, u = 1.2 yd = 0.85, x = 100, t = 0.5

utilizando la fórmula derivada anterior de

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

obtenemos q = 0.35802832

valor de la opción de venta en el punto 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) donde: p = Precio de la opción de venta \ begin {alineado} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {where:} \\ & p = \ text {Precio de la opción de venta} \\ \ end {alineado} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) donde: p = Precio de la opción de venta

En la condición de _{aumento de} P, el subyacente será = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 que conduce a un _{aumento de} P = cero

En condición P _updn, subyacente será = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 que conduce a P _updn = $ 8

En la condición P _dndn, subyacente será = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 lo que lleva a P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

Del mismo modo, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Y, por lo tanto, el valor de la opción de venta, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

Del mismo modo, los modelos binomiales le permiten romper la duración completa de la opción para refinar aún más múltiples pasos y niveles. Usando programas de computadora u hojas de cálculo, puede retroceder un paso a la vez para obtener el valor presente de la opción deseada.

Otro ejemplo

Suponga una opción de venta de tipo europeo con nueve meses de vencimiento, un precio de ejercicio de $ 12 y un precio subyacente actual de $ 10. Suponga una tasa libre de riesgo del 5% para todos los períodos. Supongamos que cada tres meses, el precio subyacente puede subir o bajar un 20%, dándonos u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 y un árbol binomial de tres pasos.

El rojo indica precios subyacentes, mientras que el azul indica la recompensa de las opciones de venta.

Probabilidad neutral al riesgo "q" se calcula a 0.531446.

Usando el valor anterior de "q" y los valores de pago en t = nueve meses, los valores correspondientes en t = seis meses se calculan como:

Además, utilizando estos valores calculados en t = 6, los valores en t = 3 y luego en t = 0 son:

Eso da el valor actual de una opción de venta como $ 2.18, bastante cerca de lo que encontrarías haciendo los cálculos usando el modelo Black-Scholes ($ 2.30).

La línea de fondo

Aunque el uso de programas de computadora puede facilitar estos cálculos intensivos, la predicción de los precios futuros sigue siendo una limitación importante de los modelos binomiales para la fijación de precios de opciones. Cuanto más finos sean los intervalos de tiempo, más difícil será predecir los pagos al final de cada período con precisión de alto nivel.

Sin embargo, la flexibilidad para incorporar los cambios esperados en diferentes períodos es una ventaja, lo que lo hace adecuado para fijar el precio de las opciones estadounidenses, incluidas las valoraciones de ejercicio temprano.

Los valores calculados utilizando el modelo binomial coinciden estrechamente con los calculados a partir de otros modelos de uso común como Black-Scholes, lo que indica la utilidad y precisión de los modelos binomiales para la fijación de precios de opciones. Los modelos de precios binomiales se pueden desarrollar de acuerdo con las preferencias de un comerciante y pueden funcionar como una alternativa a Black-Scholes.