Cálculo del valor presente y futuro de las anualidades

En algún momento de su vida, es posible que haya tenido que hacer una serie de pagos fijos durante un período de tiempo, como alquileres o pagos de automóviles, o haber recibido una serie de pagos durante un período de tiempo, como intereses de bonos o CDs. Estas se llaman anualidades (un uso más genérico de la palabra, que no debe confundirse con el producto financiero específico llamado anualidad, aunque las dos están relacionadas). Si comprende el valor temporal del dinero, está listo para aprender sobre las anualidades y cómo se calculan sus valores presentes y futuros.

¿Qué son las anualidades?

Las anualidades son esencialmente una serie de pagos fijos requeridos por usted, o pagados a usted, con una frecuencia específica en el transcurso de un período de tiempo fijo. Las frecuencias de pago pueden ser anuales, semestrales (dos veces al año), trimestrales y mensuales. Hay dos tipos básicos de anualidades: anualidades ordinarias y anualidades vencidas.

• Anualidad ordinaria: se requieren pagos al final de cada período. Por ejemplo, los bonos directos generalmente hacen pagos de cupones al final de cada seis meses hasta la fecha de vencimiento del bono.
• Anualidad vencida: los pagos se requieren al comienzo de cada período. El alquiler es un ejemplo de una anualidad vencida. Por lo general, se le exige que pague el alquiler la primera vez que se mude a principios de mes, y luego el primero de cada mes posterior.

Dado que los cálculos de valor presente y futuro para las anualidades ordinarias y las anualidades vencidas son ligeramente diferentes, los analizaremos por separado.

Anualidades Ordinarias

Cálculo del valor futuro

Si sabe cuánto puede invertir por período durante un período de tiempo determinado, el valor futuro (FV) de una fórmula de anualidad ordinaria es útil para averiguar cuánto tendría en el futuro. Si realiza pagos de un préstamo, el valor futuro es útil para determinar el costo total del préstamo. Si sabe cuánto planea invertir cada año y la tasa de rendimiento fija que garantiza su anualidad, o, para los préstamos, el monto de sus pagos y la tasa de interés dada, puede determinar fácilmente el valor de su cuenta en cualquier momento el futuro.

Pasemos ahora al Ejemplo 1. Considere el siguiente programa de flujo de efectivo de la anualidad:

Para calcular el valor futuro de la anualidad, tenemos que calcular el valor futuro de cada flujo de efectivo. Supongamos que recibe $ 1, 000 cada año durante los próximos cinco años e invierte cada pago al 5% de interés. El siguiente diagrama muestra cuánto tendría al final del período de cinco años:

Como tenemos que agregar el valor futuro de cada pago, es posible que haya notado que si tiene una anualidad ordinaria con muchos flujos de efectivo, tomaría mucho tiempo calcular todos los valores futuros y luego sumarlos. Afortunadamente, las matemáticas proporcionan una fórmula que sirve como un atajo para encontrar el valor acumulado de todos los flujos de efectivo recibidos de una anualidad ordinaria:

Anualidad FVOrdinary = C × [(1 + i) n − 1i] donde: C = Flujo de caja por períodoi = Raten de interés = Número de pagos \ begin {alineado} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Anualidad }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {C} = \ text {Flujo de caja por período} \\ & i = \ text {Tasa de interés} \\ & n = \ text {Número de pagos} \\ \ end {alineado} Anualidad FVO ordinaria = C × [i (1 + i) n − 1] donde: C = Flujo de caja por períodoi = Intereses raten = Número de pagos

Usando la fórmula anterior para el Ejemplo 1 anterior, este es el resultado:

Anualidad FVOrdinary = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5−10.05] = $ 1000 × [5.53] \ begin {alineado} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {alineado} Anualidad FVOrdinary = $ 1000 × [ 0.05 (1 + 0.05) 5−1] = $ 1000 × [5.53]

Cálculo del valor presente

Tenga en cuenta que la diferencia de un centavo entre $ 5, 525.64 y $ 5, 525.63 se debe a un error de redondeo en el primer cálculo. Cada valor del primer cálculo debe redondearse al centavo más cercano: cuanto más tenga que redondear los números en un cálculo, más probable es que ocurran errores de redondeo. Por lo tanto, la fórmula anterior no solo proporciona un acceso directo para encontrar el VF de una anualidad ordinaria, sino que también brinda un resultado más preciso.

El valor presente de una anualidad es simplemente el valor actual de todos los ingresos generados por esa inversión en el futuro. Este cálculo se basa en el concepto del valor temporal del dinero, que establece que un dólar ahora vale más que un dólar ganado en el futuro. Debido a esto, los cálculos del valor presente utilizan el número de períodos de tiempo durante los cuales se generan ingresos para descontar el valor de los pagos futuros.

Si desea determinar el valor actual de una serie de pagos futuros, debe usar la fórmula que calcula el valor presente (PV) de una anualidad ordinaria. Esta es la fórmula que usaría como parte de un cálculo de precios de bonos. El PV de una anualidad ordinaria calcula el valor presente de los pagos de cupones que recibirá en el futuro.

Para el Ejemplo 2, usaremos el mismo programa de flujo de caja de anualidades que en el Ejemplo 1. Para obtener el valor total descontado, necesitamos tomar el valor presente de cada pago futuro y, como hicimos en el Ejemplo 1, agregar el flujos de efectivo juntos.

Nuevamente, calcular y agregar todos estos valores llevará un tiempo considerable, especialmente si esperamos muchos pagos futuros. Aunque numerosas calculadoras en línea pueden determinar el valor presente de una anualidad, la fórmula para una anualidad regular no es demasiado complicada de calcular a mano, si utilizamos un atajo matemático para PV de una anualidad ordinaria.

PV Anualidad anual = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVO anualidad = C × [i1− (1 + i) −n]

La fórmula nos proporciona el PV en unos pocos pasos fáciles. Aquí está el cálculo de la anualidad representada en el diagrama del Ejemplo 2:

PVO anualidad = $ 1000 × [1− (1 + 0.05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ begin {alineado} \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ times [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {alineado} Anualidad PV ordinaria = $ 1000 × [0.051− (1 + 0.05) −5] = $ 1000 × [4.33]

Cálculo del valor futuro

Cuando recibe o paga flujos de efectivo por una anualidad vencida, su calendario de flujo de efectivo aparecerá de la siguiente manera:

Dado que cada pago de la serie se realiza un período antes, debemos descontar la fórmula un período atrás. Una ligera modificación a la fórmula de anualidad ordinaria de FV representa los pagos que ocurren al comienzo de cada período. En el Ejemplo 3, ilustremos por qué se necesita esta modificación cuando cada pago de $ 1, 000 se realiza al comienzo del período en lugar de al final (la tasa de interés sigue siendo del 5%):

Tenga en cuenta que cuando los pagos se realizan al comienzo del período, cada monto se retiene por más tiempo al final del período. Por ejemplo, si los $ 1, 000 se invirtieron el 1 de enero en lugar del 31 de diciembre de cada año, el último pago antes de valorar nuestra inversión al final de cinco años (el 31 de diciembre) se habría realizado un año antes (1 de enero) en lugar de el mismo día en que se valora. El valor futuro de la fórmula de anualidad sería entonces:

FANnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Por lo tanto,

FANnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5−10.05] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 5.53 × 1.05 \ begin {alineado} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ end { alineado} FVA Anuidad = $ 1000 × [0.05 (1 + 0.05) 5−1] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 5.53 × 1.05

Anualidad vencida

Cálculo del valor presente

Para el valor presente de una fórmula de renta vencida, necesitamos descontar la fórmula un período hacia adelante ya que los pagos se retienen por un período de tiempo más corto. Al calcular el valor presente, suponemos que el primer pago se realizó hoy.

Podríamos usar esta fórmula para calcular el valor presente de sus pagos de alquiler futuros según lo especificado en un contrato de arrendamiento que firme con el propietario. Supongamos que realiza su primer pago de alquiler (consulte el Ejemplo 4, a continuación) al comienzo del mes y está evaluando el valor presente de su contrato de arrendamiento de cinco meses ese mismo día. Su cálculo del valor actual funcionaría de la siguiente manera:

Por supuesto, podemos usar un método abreviado de fórmula para calcular el valor presente de una anualidad vencida:

PVAnuidad vencida = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Anualidad vencida}} = C \ veces \ izquierda [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

Por lo tanto,

VANnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0.05) −50.05] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05 \ begin {alineado} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4545.95 \ end {alineado} VANnuity debido = $ 1000 × [0.05 (1− (1 + 0.05) −5] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05

Recuerde que el valor presente de una anualidad ordinaria arrojó un valor de $ 4, 329.48. El valor presente de una anualidad ordinaria es menor que el de una anualidad vencida porque cuanto más atrasado descontamos un pago futuro, menor es su valor presente; cada pago o flujo de efectivo en una anualidad ordinaria ocurre un período más adelante en el futuro.

El valor temporal del dinero

El cálculo del valor futuro se basa en el concepto del valor temporal del dinero. Esto simplemente significa que un dólar ganado hoy vale más que un dólar ganado mañana porque los fondos que controlas ahora pueden invertirse y ganar intereses con el tiempo. Por lo tanto, el valor futuro de una anualidad es mayor que la suma de todas sus inversiones porque esas contribuciones han estado generando intereses con el tiempo. Por ejemplo, el valor futuro de $ 1, 000 invertidos hoy al 10% de interés es de $ 1, 100 dentro de un año. Un solo dólar hoy vale $ 1.10 en un año debido al valor temporal del dinero.

Suponga que realiza pagos anuales de $ 5, 000 a su anualidad ordinaria durante 15 años. Gana 9% de interés, compuesto anualmente.

FV = $ 5, 000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5, 000 × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = $ 5, 000 × 2.642 ÷ 0.09 \ begin {alineado} FV & = \ $ 5, 000 \ veces \ {(((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ $ 5, 000 \ veces \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ $ 5, 000 \ times 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5, 000 \ times \ $ 146, 804.58 \ end {alineado} FV = $ 5, 000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5, 000 × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = $ 5, 000 × 2.642 ÷ 0.09

Sin el poder de capitalización de intereses, su serie de contribuciones de $ 5, 000 solo vale $ 75, 000 al final de 15 años. En cambio, con intereses compuestos, el valor futuro de su anualidad es casi el doble que $ 146, 804.58.

Para calcular el valor futuro de una anualidad vencida, simplemente multiplique el valor futuro ordinario por 1+ i (la tasa de interés). En el ejemplo anterior, el valor futuro de una anualidad vencida con los mismos parámetros es simplemente $ 146, 804.58 x (1 + 0.09), o $ 160, 016.99.

Consideraciones sobre el valor presente

Al calcular el valor presente de una anualidad, es importante que todas las variables sean consistentes. Si la anualidad genera pagos anuales, por ejemplo, la tasa de interés también debe expresarse como una tasa anual. Si la anualidad genera pagos mensuales, por ejemplo, la tasa de interés también debe expresarse como una tasa mensual.

Suponga que una anualidad tiene una tasa de interés del 10% que genera pagos anuales de $ 3, 000 durante los próximos 15 años. El valor presente de esta anualidad es:

= $ 3, 000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = $ 3, 000 × ((1 − .239392) ÷ 0.1) = $ 3, 000 × (0.760608 ÷ 0.1) = $ 3, 000 × 7.60608 \ begin {alineado } & = \ $ 3, 000 \ times (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3, 000 \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3, 000 \ veces (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3, 000 \ veces 7.60608 \\ & = \ $ 22, 818 \ end {alineado} = $ 3, 000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = $ 3, 000 × ((1 − .239392) ÷ 0.1) = $ 3, 000 × (0.760608 ÷ 0.1) = $ 3, 000 × 7.60608

Valor presente de una anualidad

La línea de fondo

Ahora puede ver cómo las anualidades afectan la forma en que calcula el valor presente y futuro de cualquier cantidad de dinero. Recuerde que las frecuencias de pago, o el número de pagos, y el momento en que se realizan estos pagos (ya sea al comienzo o al final de cada período de pago) son todas las variables que debe tener en cuenta en sus cálculos.

Al planificar la jubilación, es importante tener una buena idea de cuánto ingreso puede confiar cada año. Si bien puede ser relativamente fácil hacer un seguimiento de cuánto invierte en los planes de jubilación, las cuentas de jubilación individuales (IRA) y las anualidades patrocinadas por el empleador, no siempre es tan fácil saber cuánto obtendrá. Afortunadamente, cuando se trata de anualidades de tasa fija o planes invertidos en valores de tasa fija, hay una manera simple de calcular cuánto dinero puede esperar tener disponible después de la jubilación en función de cuánto deposita en la cuenta durante sus años de trabajo .