Comprender el valor temporal del dinero

¡¡¡Felicidades!!! ¡Has ganado un premio en efectivo! Tiene dos opciones de pago: A: reciba $ 10, 000 ahora o B: reciba $ 10, 000 en tres años. ¿Qué opción elegiría?

¿Cuál es el valor temporal del dinero?

Si eres como la mayoría de las personas, elegirías recibir los $ 10, 000 ahora. Después de todo, tres años es mucho tiempo de espera. ¿Por qué cualquier persona racional aplazaría el pago en el futuro cuando podría tener la misma cantidad de dinero ahora? Para la mayoría de nosotros, tomar el dinero en el presente es simplemente instintivo. Entonces, en el nivel más básico, el valor del dinero en el tiempo demuestra que, en igualdad de condiciones, parece mejor tener dinero ahora que más tarde.

¿Pero por qué es esto? Una factura de $ 100 tiene el mismo valor que una factura de $ 100 dentro de un año, ¿no? En realidad, aunque la factura es la misma, puede hacer mucho más con el dinero si lo tiene ahora porque con el tiempo puede ganar más intereses sobre su dinero.

Volviendo a nuestro ejemplo: al recibir $ 10, 000 hoy, está preparado para aumentar el valor futuro de su dinero invirtiendo y ganando intereses durante un período de tiempo. Para la Opción B, no tiene tiempo de su lado, y el pago recibido en tres años sería su valor futuro. Para ilustrar, hemos proporcionado una línea de tiempo:

Si elige la Opción A, su valor futuro será de $ 10, 000 más cualquier interés adquirido durante los tres años. El valor futuro para la Opción B, por otro lado, solo sería de $ 10, 000. Entonces, ¿cómo puede calcular exactamente cuánto más vale la Opción A, en comparación con la Opción B? Vamos a ver.

Fundamentos del valor futuro

Si elige la Opción A e invierte el monto total a una tasa anual simple de 4.5%, el valor futuro de su inversión al final del primer año es de $ 10, 450. Llegamos a esta suma multiplicando la cantidad principal de $ 10, 000 por la tasa de interés del 4.5% y luego sumando los intereses ganados a la cantidad principal:

$ 10, 000 × 0.045 = $ 450 \ begin {alineado} & \ $ 10, 000 \ times 0.045 = \ $ 450 \\ \ end {alineado} $ 10, 000 × 0.045 = $ 450

$ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450 \ begin {alineado} & \ $ 450 + \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\ \ end {alineado} $ 450 + $ 10, 000 = $ 10, 450

También puede calcular el monto total de una inversión de un año con una simple manipulación de la ecuación anterior:

OE = ($ 10, 000 × 0.045) + $ 10, 000 = $ 10, 450 donde: OE = Ecuación original \ begin {alineado} & \ text {OE} = (\ $ 10, 000 \ times 0.045) + \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\ & \ textbf {donde :} \\ & \ text {OE} = \ text {Ecuación original} \\ \ end {alineado} OE = ($ 10, 000 × 0.045) + $ 10, 000 = $ 10, 450 donde: OE = Ecuación original

Manipulación = $ 10, 000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10, 450 \ begin {alineado} & \ text {Manipulación} = \ $ 10, 000 \ times [(1 \ times 0.045) + 1] = \ $ 10, 450 \\ \ end { alineado} Manipulación = $ 10, 000 × [(1 × 0.045) +1] = $ 10, 450

Ecuación final = $ 10, 000 × (0.045 + 1) = $ 10, 450 \ begin {alineado} & \ text {Final Equation} = \ $ 10, 000 \ times (0.045 + 1) = \ $ 10, 450 \\ \ end {alineado} Ecuación final = $ 10, 000 × (0.045 + 1) = $ 10, 450

La ecuación manipulada anterior es simplemente una eliminación de la variable similar $ 10, 000 (la cantidad principal) dividiendo la ecuación original completa por $ 10, 000.

Si los $ 10, 450 restantes en su cuenta de inversión al final del primer año no se tocan y usted invirtió al 4.5% por otro año, ¿cuánto tendría? Para calcular esto, tomaría los $ 10, 450 y los multiplicaría nuevamente por 1.045 (0.045 +1). Al final de dos años, tendría $ 10, 920.25.

Cálculo del valor futuro

El cálculo anterior, entonces, es equivalente a la siguiente ecuación:

Valor futuro = $ 10, 000 × (1 + 0.045) × (1 + 0.045) \ begin {alineado} & \ text {Future Value} = \ $ 10, 000 \ times (1 + 0.045) \ times (1 + 0.045) \\ \ end {alineado} Valor futuro = $ 10, 000 × (1 + 0.045) × (1 + 0.045)

Piense nuevamente en la clase de matemáticas y la regla de los exponentes, que establece que la multiplicación de términos similares es equivalente a sumar sus exponentes. En la ecuación anterior, los dos términos similares son (1+ 0.045), y el exponente en cada uno es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación se puede representar de la siguiente manera:

Valor futuro = $ 10, 000 × (1 + 0.045) 2 \ begin {alineado} & \ text {Valor futuro} = \ $ 10, 000 \ times (1 + 0.045) ^ 2 \\ \ end {alineado} Valor futuro = $ 10, 000 × ( 1 + 0.045) 2

Podemos ver que el exponente es igual a la cantidad de años durante los cuales el dinero genera intereses en una inversión. Entonces, la ecuación para calcular el valor futuro de la inversión a tres años se vería así:

Valor futuro = $ 10, 000 × (1 + 0.045) 3 \ begin {alineado} & \ text {Valor futuro} = \ $ 10, 000 \ times (1 + 0.045) ^ 3 \\ \ end {alineado} Valor futuro = $ 10, 000 × ( 1 + 0.045) 3

Sin embargo, no necesitamos seguir calculando el valor futuro después del primer año, luego el segundo año, luego el tercer año, y así sucesivamente. Puedes resolverlo todo de una vez, por así decirlo. Si conoce la cantidad actual de dinero que tiene en una inversión, su tasa de rendimiento y cuántos años le gustaría mantener esa inversión, puede calcular el valor futuro (FV) de esa cantidad. Se hace con la ecuación:

FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valor futuro PV = Valor actual (cantidad original de dinero) i = Tasa de interés por períodon = Número de períodos \ begin {alineado} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual ( cantidad original de dinero)} \\ & i = \ text {Tasa de interés por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alineado} FV = PV × (1 + i) nwhere: FV = Valor futuro PV = Valor actual (cantidad original de dinero) i = Tasa de interés por períodon = Número de períodos

Fundamentos del valor presente

Si recibió $ 10, 000 hoy, su valor presente sería, por supuesto, $ 10, 000 porque el valor presente es lo que su inversión le da ahora si lo gastara hoy. Si recibiera $ 10, 000 en un año, el valor actual de la cantidad no sería de $ 10, 000 porque no lo tiene en la mano ahora, en el presente.

Para encontrar el valor presente de los $ 10, 000 que recibirá en el futuro, debe pretender que los $ 10, 000 son el valor futuro total de una cantidad que invirtió hoy. En otras palabras, para encontrar el valor presente del futuro $ 10, 000, necesitamos averiguar cuánto tendríamos que invertir hoy para recibir esos $ 10, 000 en un año.

Para calcular el valor presente, o la cantidad que tendríamos que invertir hoy, debe restar el interés acumulado (hipotético) de los $ 10, 000. Para lograr esto, podemos descontar el monto del pago futuro ($ 10, 000) por la tasa de interés para el período. En esencia, todo lo que está haciendo es reorganizar la ecuación de valor futuro anterior para que pueda resolver el valor presente (PV). La ecuación de valor futuro anterior puede reescribirse de la siguiente manera:

PV = FV (1 + i) n \ begin {alineado} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {alineado} PV = (1 + i) nFV

Una ecuación alternativa sería:

PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = Valor presente (cantidad original de dinero) FV = Valor futuroi = Tasa de interés por períodon = Número de períodos \ begin {alineado} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {donde:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual (cantidad original de dinero)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futuro} \\ & i = \ text {Tasa de interés por período} \\ & n = \ text {Número de períodos} \\ \ end {alineado} PV = FV × (1 + i) −nwhere: PV = valor presente (cantidad original de dinero) FV = valor futuroi = tasa de interés por períodon = número de períodos

Cálculo del valor presente

Retrocedamos de los $ 10, 000 ofrecidos en la Opción B. Recuerde, los $ 10, 000 que se recibirán en tres años es realmente el mismo valor futuro de una inversión. Si nos quedara un año antes de recibir el dinero, descontaríamos el pago un año atrás. Usando nuestra fórmula de valor presente (versión 2), en la marca actual de dos años, el valor presente de los $ 10, 000 que se recibirán en un año sería $ 10, 000 x (1 + .045) ^-1 = $ 9569.38.

Tenga en cuenta que si hoy estuviéramos en la marca de un año, los $ 9, 569.38 anteriores se considerarían el valor futuro de nuestra inversión dentro de un año.

Continuando, al final del primer año esperaríamos recibir el pago de $ 10, 000 en dos años. A una tasa de interés del 4.5%, el cálculo para el valor presente de un pago de $ 10, 000 esperado en dos años sería de $ 10, 000 x (1 + .045) ^-2 = $ 9157.30.

Por supuesto, debido a la regla de los exponentes, no tenemos que calcular el valor futuro de la inversión cada año contando desde la inversión de $ 10, 000 en el tercer año. Podríamos poner la ecuación de manera más concisa y usar los $ 10, 000 como FV. Entonces, así es como puede calcular el valor actual de los $ 10, 000 esperados de una inversión de tres años que genera un 4.5%:

$ 8, 762.97 = $ 10, 000 × (1 + .045) −3 \ begin {alineado} & \ $ 8, 762.97 = \ $ 10, 000 \ veces (1 + .045) ^ {- 3} \\ \ end {alineado} $ 8, 762.97 = $ 10, 000 × ( 1 + .045) −3

Por lo tanto, el valor presente de un pago futuro de $ 10, 000 vale $ 8, 762.97 hoy si las tasas de interés son 4.5% por año. En otras palabras, elegir la Opción B es como tomar $ 8, 762.97 ahora y luego invertirlo durante tres años. Las ecuaciones anteriores ilustran que la Opción A es mejor no solo porque le ofrece dinero en este momento sino porque le ofrece $ 1, 237.03 ($ 10, 000 - $ 8, 762.97) más en efectivo. Además, si invierte los $ 10, 000 que recibe de la Opción A, su elección le da un valor futuro que es $ 1, 411.66 ($ 11, 411.66 - $ 10, 000) mayor que el valor futuro de la Opción B.

Valor presente de un pago futuro

Vamos a subir la apuesta en nuestra oferta. ¿Qué sucede si el pago futuro es superior al monto que recibiría de inmediato? Digamos que podría recibir $ 15, 000 hoy o $ 18, 000 en cuatro años. La decisión ahora es más difícil. Si elige recibir $ 15, 000 hoy e invertir la cantidad total, en realidad puede terminar con una cantidad de efectivo en cuatro años que es inferior a $ 18, 000.

¿Cómo decidir? Puede encontrar el valor futuro de $ 15, 000, pero como siempre estamos viviendo en el presente, busquemos el valor presente de $ 18, 000. Esta vez, asumiremos que las tasas de interés son actualmente del 4%. Recuerde que la ecuación para el valor presente es la siguiente:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {alineado} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {alineado} PV = FV × (1 + i) −n

En la ecuación anterior, todo lo que estamos haciendo es descontar el valor futuro de una inversión. Usando los números anteriores, el valor presente de un pago de $ 18, 000 en cuatro años se calcularía como $ 18, 000 x (1 + 0.04) ^-4 = $ 15, 386.48.

Del cálculo anterior, ahora sabemos que nuestra elección hoy es entre optar por $ 15, 000 o $ 15, 386.48. ¡Por supuesto, deberíamos elegir posponer el pago por cuatro años!

La línea de fondo

Estos cálculos demuestran que el tiempo literalmente es dinero: el valor del dinero que tiene ahora no es el mismo que será en el futuro y viceversa. Por lo tanto, es importante saber cómo calcular el valor temporal del dinero para poder distinguir entre el valor de las inversiones que le ofrecen rendimientos en diferentes momentos. (Para lecturas relacionadas, consulte "Valor temporal del dinero y el dólar")