Uso de métodos de distribución de probabilidad de acciones comunes

Casi independientemente de su punto de vista sobre la previsibilidad o eficiencia de los mercados, probablemente estará de acuerdo en que para la mayoría de los activos, los retornos garantizados son inciertos o riesgosos. Si ignoramos las matemáticas que subyacen a las distribuciones de probabilidad, podemos ver que son imágenes que describen una visión particular de la incertidumbre. La distribución de probabilidad es un cálculo estadístico que describe la posibilidad de que una variable dada caiga entre o dentro de un rango específico en un gráfico de trazado.

La incertidumbre se refiere a la aleatoriedad. Es diferente de la falta de previsibilidad o de ineficiencia del mercado. Una visión de investigación emergente sostiene que los mercados financieros son inciertos y predecibles. Además, los mercados pueden ser eficientes pero también inciertos.

En finanzas, utilizamos distribuciones de probabilidad para dibujar imágenes que ilustren nuestra visión de la sensibilidad del rendimiento de un activo cuando creemos que el rendimiento del activo puede considerarse una variable aleatoria. En este artículo, repasaremos algunas de las distribuciones de probabilidad más populares y le mostraremos cómo calcularlas.

Las distribuciones se pueden clasificar como discretas o continuas, y si es una función de densidad de probabilidad (PDF) o una distribución acumulativa.

Distribuciones discretas vs. continuas

Discreto se refiere a una variable aleatoria extraída de un conjunto finito de posibles resultados. Un dado de seis lados, por ejemplo, tiene seis resultados discretos. Una distribución continua se refiere a una variable aleatoria extraída de un conjunto infinito. Los ejemplos de variables aleatorias continuas incluyen velocidad, distancia y algunos retornos de activos. Una variable aleatoria discreta se ilustra típicamente con puntos o guiones, mientras que una variable continua se ilustra con una línea continua. La Figura 1 muestra distribuciones discretas y continuas para una distribución normal con media (valor esperado) de 50 y una desviación estándar de 10:

Figura 1

La distribución es un intento de trazar la incertidumbre. En este caso, un resultado de 50 es lo más probable, pero solo sucederá aproximadamente el 4% del tiempo; un resultado de 40 es una desviación estándar por debajo de la media y ocurrirá un poco menos del 2.5% del tiempo.

Densidad de probabilidad versus distribución acumulativa

La otra distinción es entre la función de densidad de probabilidad (PDF) y la función de distribución acumulativa. El PDF es la probabilidad de que nuestra variable aleatoria alcance un valor específico (o en el caso de una variable continua, de caer entre un intervalo). Mostramos eso al indicar la probabilidad de que una variable aleatoria X sea ​​igual a un valor real x:

P [x = X] \ begin {alineado} & P [x = X] \\ \ end {alineado} P [x = X]

La distribución acumulativa es la probabilidad de que la variable aleatoria X sea ​​menor o igual que el valor real x:

P [x <= X] \ begin {alineado} y P [x <= X] \\ \ end {alineado} P [x <= X]

o ejemplo, si su altura es una variable aleatoria con un valor esperado de 5'10 "pulgadas (la altura promedio de sus padres), entonces la pregunta en PDF es, " ¿Cuál es la probabilidad de que alcance una altura de 5'4 ""? >

La Figura 1 mostró dos distribuciones normales. Ahora puede ver que estos son gráficos de función de densidad de probabilidad (PDF). Si volvemos a trazar la misma distribución exacta que una distribución acumulativa, obtendremos lo siguiente:

Figura 2

La distribución acumulativa eventualmente debe alcanzar 1.0 o 100% en el eje y. Si elevamos la barra lo suficientemente alto, en algún momento, prácticamente todos los resultados caerán por debajo de esa barra (podríamos decir que la distribución es típicamente asintótica a 1.0).

Las finanzas, una ciencia social, no son tan limpias como las ciencias físicas. La gravedad, por ejemplo, tiene una fórmula elegante en la que podemos confiar, una y otra vez. Los rendimientos de los activos financieros, por otro lado, no pueden replicarse de manera tan consistente. A lo largo de los años, se ha perdido una cantidad asombrosa de dinero por personas inteligentes que confundieron las distribuciones precisas (es decir, como derivadas de las ciencias físicas) con las aproximaciones desordenadas y poco confiables que intentan representar los rendimientos financieros. En finanzas, las distribuciones de probabilidad son poco más que representaciones pictóricas crudas.

Distribución uniforme

La distribución más simple y popular es la distribución uniforme, en la cual todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir. Un dado de seis lados tiene una distribución uniforme. Cada resultado tiene una probabilidad de alrededor de 16.67% (1/6). Nuestro gráfico a continuación muestra la línea continua (para que pueda verla mejor), pero tenga en cuenta que esta es una distribución discreta: no puede obtener 2.5 o 2.11:

figura 3

Ahora, tira dos dados juntos, como se muestra en la Figura 4, y la distribución ya no es uniforme. Llega a su punto máximo a las siete, que tiene una probabilidad del 16.67%. En este caso, todos los demás resultados son menos probables:

Figura 4

Ahora, tira tres dados juntos, como se muestra en la Figura 5. Comenzamos a ver los efectos de un teorema más sorprendente: el teorema del límite central. El teorema del límite central promete audazmente que la suma o el promedio de una serie de variables independientes tenderá a distribuirse normalmente, independientemente de su propia distribución . Nuestros dados son individualmente uniformes, pero los combinamos y, a medida que agregamos más dados, casi mágicamente su suma tenderá a la distribución normal familiar.

Figura 5

Distribución binomial

La distribución binomial refleja una serie de "uno o dos" ensayos, como una serie de lanzamientos de monedas. Estos se llaman ensayos de Bernoulli, que se refieren a eventos que solo tienen dos resultados, pero que no necesita probabilidades iguales (50/50). La distribución binomial a continuación traza una serie de 10 lanzamientos de monedas en donde la probabilidad de cara es del 50% (p-0.5). Puede ver en la Figura 6 que la posibilidad de voltear exactamente cinco caras y cinco colas (el orden no importa) es apenas del 25%:

Figura 6

Si la distribución binomial le parece normal, tiene razón al respecto. A medida que aumenta el número de ensayos, el binomio tiende hacia la distribución normal.

Distribución Lognormal

La distribución lognormal es muy importante en las finanzas porque muchos de los modelos más populares suponen que los precios de las acciones se distribuyen lognormalmente. Es fácil confundir los rendimientos de los activos con los niveles de precios.

Los retornos de activos a menudo se tratan como normales: una acción puede subir un 10% o bajar un 10%. Los niveles de precios a menudo se tratan como normales: una acción de $ 10 puede subir hasta $ 30 pero no puede bajar a $ 10. La distribución lognormal es distinta de cero y está sesgada hacia la derecha (una vez más, una acción no puede caer por debajo de cero pero no tiene un límite al alza teórico):

Figura 7

Poisson

La distribución de Poisson se utiliza para describir las probabilidades de que ocurra un determinado evento (por ejemplo, una pérdida de cartera diaria inferior al 5%) durante un intervalo de tiempo. Entonces, en el ejemplo a continuación, asumimos que algunos procesos operativos tienen una tasa de error del 3%. Asumimos además 100 ensayos aleatorios; La distribución de Poisson describe la probabilidad de obtener un cierto número de errores durante un período de tiempo, como un solo día.

Figura 8

T de estudiante

La distribución T del estudiante también es muy popular porque tiene una "cola más gorda" que la distribución normal. La T del alumno se usa típicamente cuando nuestro tamaño de muestra es pequeño (es decir, menos de 30). En finanzas, la cola izquierda representa las pérdidas. Por lo tanto, si el tamaño de la muestra es pequeño, nos atrevemos a subestimar las probabilidades de una gran pérdida. La cola más gorda en la T del estudiante nos ayudará aquí. Aun así, sucede que la cola gorda de esta distribución a menudo no es lo suficientemente gorda. Los retornos financieros tienden a exhibir, en raras ocasiones catastróficas, pérdidas realmente pesadas (es decir, más gordas de lo previsto por las distribuciones). Se han perdido grandes sumas de dinero haciendo este punto.

Figura 9

Distribución Beta

Finalmente, la distribución beta (que no debe confundirse con el parámetro beta en el modelo de fijación de precios de activos de capital) es popular entre los modelos que estiman las tasas de recuperación de las carteras de bonos. La distribución beta es el reproductor de utilidad de las distribuciones. Al igual que lo normal, solo necesita dos parámetros (alfa y beta), pero se pueden combinar para una flexibilidad notable. En la Figura 10 a continuación se ilustran cuatro posibles distribuciones beta:

Figura 10

La línea de fondo

Al igual que muchos zapatos en nuestro armario estadístico de zapatos, tratamos de elegir el que mejor se adapte a la ocasión, pero realmente no sabemos qué clima nos depara. Podemos elegir una distribución normal y luego descubrir que subestimó las pérdidas de la cola izquierda; entonces cambiamos a una distribución sesgada, solo para encontrar que los datos se ven más "normales" en el próximo período. Las elegantes matemáticas debajo pueden seducirlo para que piense que estas distribuciones revelan una verdad más profunda, pero es más probable que sean simples artefactos humanos. Por ejemplo, todas las distribuciones que revisamos son bastante suaves, pero algunos retornos de activos se disparan de manera discontinua.

La distribución normal es omnipresente y elegante y solo requiere dos parámetros (media y distribución). Muchas otras distribuciones convergen hacia lo normal (por ejemplo, binomial y Poisson). Sin embargo, muchas situaciones, como los rendimientos de los fondos de cobertura, las carteras de crédito y los eventos de pérdidas graves, no merecen las distribuciones normales.